Équations et inéquations du 1er degré
L'essentiel du cours (8 notions)
Équation du type $x^2 = a$
Propriété : • Si $a > 0$ : deux solutions $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$. • Si $a = 0$ : une seule solution $x = 0$. • Si $a < 0$ : aucune solution dans $\mathbb{R}$.
Exemple : $x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3$ ou $x = -3$.
Équation linéaire $ax + b = cx + d$
Méthode : 1. Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre. 2. Réduire les deux membres. 3. Diviser par le coefficient de $x$ (s'il est non nul).
Exemple : $3x + 2 = x + 8 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$.
Équation du type $\frac{a}{x} = b$
Propriété : Pour $x \neq 0$ et $b \neq 0$, l'équation $\frac{a}{x} = b$ équivaut à $x = \frac{a}{b}$.
Exemple : $\frac{6}{x} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{6}{2} = 3$ (avec $x \neq 0$).
Inéquation du premier degré
Propriété : On résout comme une équation, mais le sens de l'inégalité s'inverse si l'on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif.
Exemple : $-2x < 6 \Leftrightarrow x > \frac{6}{-2} \Leftrightarrow x > -3$.
Isoler une variable dans une formule
Méthode : Effectuer les opérations inverses (addition/soustraction, multiplication/division) sur les deux membres de l'égalité pour isoler la variable cherchée.
Exemple : Dans $U = R I$, pour isoler $I$, on divise par $R$ ($R \neq 0$) : $I = \frac{U}{R}$.
Application numérique d'une formule
Méthode : 1. Identifier les valeurs connues. 2. Remplacer chaque variable par sa valeur dans la formule. 3. Calculer le résultat en respectant les priorités opératoires.
Exemple : Pour $V = a b c$ avec $a=2$, $b=3$, $c=4$ : $V = 2 \times 3 \times 4 = 24$.
Relation linéaire $ax + by = c$
Méthode : Pour exprimer $y$ en fonction de $x$ ($b \neq 0$) : 1. Isoler le terme en $y$ : $by = c - ax$. 2. Diviser par $b$ : $y = \frac{c - ax}{b}$.
Exemple : $2x + y = 5 \Leftrightarrow y = 5 - 2x$.
Ensemble des solutions $S$
Propriété : Les solutions s'écrivent sous forme d'ensemble $S$ : • Valeurs isolées : $S = \{3\}$ ou $S = \{-2 ; 2\}$ • Inéquations (intervalles) : $S = ]-3 ; +\infty[$ • Pas de solution : $S = \emptyset$
Exemple : Pour $x + 2 \geqslant 5$, on a $x \geqslant 3$ donc $S = [3 ; +\infty[$.
Dans un processus industriel, la quantité de produit $Q$ (en litres) synthétisée dépend du nombre de machines $N$, du temps de fonctionnement $t$ (en heures) et d'un paramètre de rendement $k$. Elles sont liées par la formule suivante :
$$Q = \frac{k \cdot N \cdot t}{t + 5}$$
Lors d'un essai, avec $N = 4$ machines et une durée $t = 15\text{ h}$, la quantité produite est $Q = 900\text{ L}$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$.
On cherche à déterminer la valeur du nombre réel non nul $x$ vérifiant l'égalité suivante :
$$\frac{35}{x} = 5$$Saisir la valeur de $x$.
Résoudre l'équation suivante dans $\mathbb{R}$ :
$$x^2 = 169$$Saisir la plus grande solution de cette équation.
Résoudre l'équation suivante :
$$4x + 3 = x + 18$$Saisir la valeur de la solution $x$.
En physique, la vitesse $v$ d'un objet en mouvement est donnée par la formule :
$$v = v_0 + a t$$où $v_0$ est la vitesse initiale, $a$ l'accélération et $t$ la durée du mouvement.
En exprimant d'abord $t$ en fonction de $v$, $v_0$ et $a$, déterminer la valeur de $t$ lorsque $v = 28\text{ m/s}$, $v_0 = 4\text{ m/s}$ et $a = 3\text{ m/s}^2$.
Saisir la valeur de $t$.
On considère la formule permettant de calculer l'aire $A$ d'un trapèze de bases $a$ et $b$ et de hauteur $h$ :
$$A = \frac{(a + b) \times h}{2}$$Calculer la valeur de l'aire $A$ pour $a = 6$, $b = 14$ et $h = 7$.
Saisir la valeur de $A$.
On considère l'inéquation suivante d'inconnue $x$ :
$$5x - 3 \le 8x + 9$$Saisir la plus petite valeur réelle $x$ solution de cette inéquation.
On considère l'inéquation suivante :
$$8 - 3x \le 7x + 78$$L'ensemble de toutes les solutions de cette inéquation est un intervalle de la forme $[a ; +\infty[$.
Déterminer la valeur du nombre réel $a$.
On considère la relation suivante entre quatre variables $V$, $a$, $b$ et $c$ :
$$V = \frac{a(b - 2c)}{3}$$On donne $V = 14$, $a = 6$ et $c = 5$.
Saisir la valeur de $b$.
Déterminer la solution de l'équation suivante :
$$\frac{-15}{x} = 6$$Saisir la valeur de la solution sous forme décimale.
On considère l'équation d'inconnue $x$ suivante, où $k$ désigne un nombre réel :
$$(k + 1)x + 4 = (3k - 5)x - 8$$Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le nombre $3$ est solution de cette équation.
Saisir la valeur de $k$.
La tension aux bornes d'un générateur est donnée par la relation :
$$U = E - r \times I$$où $U$ est la tension exprimée en volts, $E$ la force électromotrice en volts, $r$ la résistance interne en ohms et $I$ l'intensité du courant en ampères.
On donne $E = 12$, $r = 1{,}5$ et $U = 8{,}7$.
Saisir la valeur de $I$.
On considère l'équation suivante :
$$4x^2 + 11 = 60$$Déterminer la plus grande solution de cette équation.
Saisir la plus grande solution sous forme décimale.
Dans un circuit électrique, la tension $U$ (en volts $\text{V}$), la résistance $R$ (en ohms $\Omega$) et l'intensité $I$ (en ampères $\text{A}$) sont liées par la relation :
$$U = R \times I$$On souhaite déterminer la valeur de la résistance $R$ nécessaire pour obtenir une tension de $230\text{ V}$ avec une intensité de $5\text{ A}$.
- Exprimer la résistance $R$ en fonction de $U$ et de $I$.
- En déduire la valeur numérique de la résistance $R$.
Saisir la valeur de la résistance R.
On considère l'équation suivante :
$$4x - 3 = 2x + 4$$Déterminer la solution de cette équation dans $\mathbb{R}$.
Saisir la solution de cette équation sous forme décimale.
Un carré a pour côté $x + 3$ et un rectangle a pour dimensions $x$ et $x + k$, où $k$ est une constante réelle et $x$ un nombre strictement positif.
La valeur de $x$ est la solution strictement positive de l'équation $(2x - 1)^2 = 49$.
Pour cette valeur de $x$, la différence entre l'aire du carré et l'aire du rectangle est égale à 25.
Saisir la valeur de $k$.
On considère l'inéquation d'inconnue $x$, dépendant d'un nombre réel $k$ :
$$\frac{5x - 3k}{4} - 1 \leqslant \frac{x + k}{2} + 2$$On note $M$ le plus grand nombre réel appartenant à l'ensemble des solutions de cette inéquation.
Par ailleurs, on sait que $-8$ est la solution négative de l'équation d'inconnue $u$ :
$$u^2 = 3M + 13$$Saisir la valeur du paramètre $k$.