Approximations et encadrements
L'essentiel du cours (2 notions)
Encadrement décimal d'un réel
Définition : Un encadrement d'amplitude $10^{-n}$ d'un réel $x$ par deux décimaux $a, b \in \mathbb{D}$ est de la forme $a \le x \le b$ avec $b - a = 10^{-n}$.
Exemple : Encadrement de $\pi$ à $10^{-2}$ près : $3{,}14 \le \pi \le 3{,}15$ (car $3{,}15 - 3{,}14 = 0{,}01$).
Arrondis et chiffres significatifs
Définition : Les chiffres significatifs d'un nombre sont ses chiffres à partir du premier chiffre non nul à gauche, utilisés pour adapter la précision des résultats de calculs.
Méthode : Pour arrondir, observer le premier chiffre négligé : s'il est supérieur ou égal à 5, augmenter d'une unité le dernier chiffre conservé.
Exemple : $0{,}004056$ possède 4 chiffres significatifs ($4, 0, 5, 6$). Son arrondi à 2 chiffres significatifs est $0{,}0041$.
Un laboratoire étudie un échantillon de métal. Sa masse est mesurée à $m = 45{,}3\text{ g}$ et son volume à $V = 7\text{ cm}^3$.
La masse volumique $\rho$ (en $\text{g/cm}^3$) est donnée par la formule :
$$\rho = \frac{m}{V}$$1. Calculer le quotient $\frac{m}{V}$ avec au moins deux décimales.
2. En déduire la valeur de la masse volumique $\rho$ arrondie à $2$ chiffres significatifs.
Saisir la valeur arrondie de la masse volumique.
On considère le nombre réel $x = \dfrac{19}{6}$.
Afin de déterminer un encadrement de $x$ par deux décimaux d'amplitude $10^{-2}$ :
- Effectuer la division décimale de $19$ par $6$ jusqu'au troisième chiffre après la virgule.
- En déduire l'encadrement du nombre $x$ par deux nombres décimaux d'amplitude $10^{-2}$ sous la forme $a < \dfrac{19}{6} < b$.
Saisir la valeur de la borne supérieure $b$.
Un réservoir d'eau cylindrique a une hauteur mesurée de $3{,}4\text{ m}$ et un volume mesuré de $25\text{ m}^3$.
On rappelle que le volume $V$ d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule :
$$V = \pi \times r^2 \times h$$Déterminer la valeur du rayon $r$ de la base de ce réservoir, exprimée en mètres, en adaptant la précision du résultat aux données de l'énoncé.
Saisir la valeur du rayon $r$ sous forme décimale.
On considère le nombre réel $A = \dfrac{5}{7} + \dfrac{2}{3}$.
On souhaite déterminer un encadrement du nombre $A$ par deux décimaux $a$ et $b$ d'amplitude $10^{-2}$, sous la forme $a \le A \le b$ avec $b - a = 10^{-2}$.
Saisir la valeur de la borne inférieure $a$.