Résolution de problèmes géométriques

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on donne les points $A(1; 1)$, $B(5; 3)$ et $C(2; 7)$.

En calculant d'abord les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$, déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Saisir l'ordonnée du point $D$.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on donne les points $A(-2; 1)$, $B(4; 5)$ et $C(2; 9)$.

Le point $D$ est tel que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme, et le point $M$ est le milieu du segment $[BC]$.

Saisir la valeur de $DM^2$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(-3, 2)$ et $B(3, 6)$.

Soit $M$ un point de l'axe des abscisses, de coordonnées $(k, 0)$ où $k$ est un nombre réel.

Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le triangle $ABM$ est rectangle en $A$.

Saisir la valeur exacte de $k$ sous la forme d'une fraction irréductible.

Propriété (rappel d'approfondissement) : Soient $A, B, C$ trois points du plan et $a, b, c$ trois réels tels que $a+b+c \neq 0$. Le barycentre du système de points pondérés $(A,a)$, $(B,b)$, $(C,c)$ est l'unique point $G$ vérifiant la relation vectorielle $(a+b+c)\vec{AG} = b\vec{AB} + c\vec{AC}$.

Dans le plan muni du repère $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$, on considère les points $D$ et $E$ définis par $\vec{AD} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$ et $\vec{AE} = 3\vec{AC}$.

Pour tout réel $k$, on note $G_k$ le barycentre du système $(A, 1-k)$, $(B, k)$ et $(C, 2)$.

Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour laquelle les points $D$, $E$ et $G_k$ sont alignés. Saisir la valeur sous forme décimale.