Exercice vecteurs, parallélogramme, repère — Résolution de problèmes géométriques (2nde)

★ Standard

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on donne les points $A(1; 1)$, $B(5; 3)$ et $C(2; 7)$.

En calculant d'abord les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$, déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Saisir l'ordonnée du point $D$.

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Réponse finale

Étape 1

Déterminons les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ :

Étape 2

$$\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A) = (5 - 1 ; 3 - 1) = (4 ; 2)$$

Étape 3

Soit $D(x_D ; y_D)$ le point recherché. Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si :

Étape 4

$$\vec{AB} = \vec{DC}$$

Étape 5

Exprimons les coordonnées du vecteur $\vec{DC}$ en fonction de $x_D$ et $y_D$ :

Étape 6

$$\vec{DC}(x_C - x_D ; y_C - y_D) = (2 - x_D ; 7 - y_D)$$

Étape 7

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. On obtient le système suivant :

Étape 8

$$\begin{cases} 2 - x_D = 4 \\ 7 - y_D = 2 \end{cases}$$

Étape 9

En résolvant ces deux équations :

Étape 10

$$x_D = 2 - 4 = -2$$

Étape 11

$$y_D = 7 - 2 = 5$$

Étape 12

Les coordonnées du point $D$ sont donc $(-2 ; 5)$. L'ordonnée du point $D$ vaut $5$.

Méthode clé

Utiliser l'égalité vectorielle $\vec{AB} = \vec{DC}$ pour déterminer le quatrième sommet d'un parallélogramme $ABCD$.

Piège à éviter

Attention à l'ordre des lettres : pour un parallélogramme $ABCD$, l'égalité est $\vec{AB} = \vec{DC}$ et non $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Exercice : Résolution de problèmes géométriques