Développement et factorisation
L'essentiel du cours (5 notions)
Opposé d'une somme ou différence
Propriété : Un signe $-$ devant une parenthèse change tous les signes intérieurs : $-(a + b) = -a - b$ et $-(a - b) = -a + b = b - a$.
Exemple : $-(3x - 5) = -3x + 5 = 5 - 3x$.
Développement et identités remarquables
Propriété : Pour tous réels $a$ et $b$ : - $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ - $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Exemple : $(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.
Factorisation et identités remarquables
Méthode : Reconnaître la forme développée pour factoriser : - $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ - $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ - $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
Exemple : $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.
Réduction d'expressions algébriques
Méthode : 1. Supprimer les parenthèses (en développant si besoin). 2. Regrouper les termes de même degré ($x^2$, $x$, constantes). 3. Additionner leurs coefficients.
Exemple : $3x^2 + 5x - 2x^2 + 4 = x^2 + 5x + 4$.
Factorisation par facteur commun
Propriété : Mettre en évidence le facteur commun $x$ : $ax^2 + bx = x(ax + b)$ et $ax + bx = x(a + b)$.
Exemple : $3x^2 + 5x = x(3x + 5)$.
On considère l'expression algébrique suivante :
$$A(x) = -(7 - 4x)$$En développant et réduisant l'expression $A(x)$, on l'écrit sous la forme $ax + b$.
Saisir la valeur du coefficient $a$.
On considère l'expression algébrique $E(x) = 25x^2 - 49$.
En utilisant une identité remarquable, l'expression $E(x)$ se factorise sous la forme $(5x - k)(5x + k)$, où $k$ est un entier positif.
Saisir la valeur du nombre entier $k$.
On considère l'expression algébrique $E(x) = 6x^2 - 18x$.
En factorisant par $6x$, l'expression s'écrit sous la forme $6x(x - k)$, où $k$ est un nombre entier.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $k$ un nombre réel positif.
Lorsqu'on développe l'expression $(3x + k)^2$, le terme en $x$ obtenu est $30x$.
En utilisant une identité remarquable pour développer $(3x + k)^2$, déterminer la valeur du nombre $k$.
Saisir la valeur de $k$.
On considère l'expression algébrique suivante :
$$A(x) = 4(3x - 2) - 5(2x - 3)$$En développant puis en regroupant les termes semblables, réduis cette expression sous la forme $ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
Saisir la valeur du coefficient $a$.
On considère l'équation suivante :
$$18x^2 - 42x = 0$$Déterminer la solution non nulle de cette équation sous la forme d'une fraction irréductible.
Saisir la solution non nulle sous la forme a/b :
On considère l'expression algébrique suivante :
$$A(x) = (4x + 1)(x - 3) - (4x^2 - 7x + 5)$$Après développement et réduction, l'expression $A(x)$ s'écrit sous la forme $ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs.
Saisir la valeur du coefficient $a$.
On considère l'expression suivante :
$$E(x) = (3x + 4)^2 - (5x - 2)(5x + 2)$$En réduisant cette expression, elle s'écrit sous la forme $a x^2 + b x + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
Saisir la valeur du coefficient $b$.
On considère l'expression algébrique $E(x) = 25x^2 - (2x + k)^2$, où $k$ est un nombre réel positif.
On sait que l'un des facteurs de la forme factorisée de $E(x)$ est $(3x - 5)$.
Saisir la valeur du nombre $k$.
On considère l'expression algébrique $A(x) = 5(2x - 3) + kx + 4$, où $k$ est un nombre réel.
Après avoir développé et réduit l'expression $A(x)$ en conservant le paramètre $k$, on sait que sa forme réduite est $17x - 11$.
Saisir la valeur du nombre $k$.
On considère l'expression $A(x) = -(13 - 4x) + (2 - 3x)$.
Déterminer la valeur du nombre réel $x$ pour laquelle $A(x) = 15$.
Saisir la valeur de $x$.
On rappelle la formule du développement du cube d'une somme : pour tous réels $a$ et $b$, $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Soit $k$ un nombre réel strictement positif.
On considère l'expression $A(x) = (2x + k)^3$. Lorsqu'on développe et réduit $A(x)$, on obtient une expression sous la forme $c_3 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0$, où $c_3$, $c_2$, $c_1$ et $c_0$ sont des constantes réelles.
Sachant que le coefficient $c_1$ est égal aux $\frac{15}{8}$ du coefficient $c_2$, déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur de $k$ sous forme décimale.