Exercice : Développement et factorisation

Étape 1

On applique la formule du cube d'une somme $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ en posant $a = 2x$ et $b = k$ : $$A(x) = (2x)^3 + 3 \times (2x)^2 \times k + 3 \times (2x) \times k^2 + k^3$$

Étape 2

En calculant chaque terme, on obtient : $$(2x)^3 = 8x^3$$ $$3 \times (2x)^2 \times k = 3 \times 4x^2 \times k = 12k x^2$$ $$3 \times (2x) \times k^2 = 6k^2 x$$ L'expression développée et réduite s'écrit donc : $$A(x) = 8x^3 + 12k x^2 + 6k^2 x + k^3$$

Étape 3

Par identification avec l'expression $c_3 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0$, on extrait les coefficients $c_2$ et $c_1$ : $$c_2 = 12k \quad \text{et} \quad c_1 = 6k^2$$

Étape 4

L'énoncé précise que $c_1 = \frac{15}{8} c_2$. On remplace $c_1$ et $c_2$ par leurs expressions : $$6k^2 = \frac{15}{8} \times 12k$$ Ce qui donne : $$6k^2 = \frac{45}{2} k$$

Étape 5

Comme $k$ est un nombre réel strictement positif ($k > 0$), on peut diviser les deux membres de l'égalité par $k$ : $$6k = \frac{45}{2}$$ D'où : $$k = \frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3{,}75$$