Étape 1
On cherche à déterminer la valeur du réel $k$ à partir de la forme factorisée de l'expression $E(x) = 25x^2 - (2x + k)^2$.
Étape 2
On remarque que $25x^2 = (5x)^2$. L'expression $E(x)$ est donc une différence de deux carrés, de la forme $a^2 - b^2$ avec $a = 5x$ et $b = 2x + k$.
Étape 3
En appliquant l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, on factorise $E(x)$ :
Étape 4
$$E(x) = [5x - (2x + k)][5x + (2x + k)]$$
Étape 5
$$E(x) = (5x - 2x - k)(5x + 2x + k)$$
Étape 6
$$E(x) = (3x - k)(7x + k)$$
Étape 7
L'énoncé indique que l'un des facteurs de la forme factorisée de $E(x)$ est $(3x - 5)$.
Étape 8
En comparant le facteur $(3x - k)$ avec le facteur $(3x - 5)$, on obtient par identification :
Étape 9
$$3x - k = 3x - 5$$
Étape 10
Ce qui équivaut à :
Étape 11
$$k = 5$$
Méthode clé
Pour factoriser une expression de la forme $A^2 - B^2$, on applique l'identité remarquable $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ en identifiant soigneusement $A$ et $B$.
Piège à éviter
Attention aux parenthèses lors de la soustraction : $5x - (2x + k) = 5x - 2x - k = 3x - k$ (et non $3x + k$).
