Colinéarité et déterminant
L'essentiel du cours (2 notions)
Colinéarité, alignement et parallélisme
Définition : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$.
Propriété : • $(AB) \parallel (CD) \iff \vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires. • $A, B, C$ sont alignés $\iff \vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Méthode : Pour démontrer un parallélisme ou un alignement, on cherche un réel $k$ liant les deux vecteurs associés.
Déterminant et critère de colinéarité
Propriété : Dans un repère du plan, deux vecteurs $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.
Formule : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = x y' - x' y$
Exemple : Avec $\vec{u}(2 ; 3)$ et $\vec{v}(4 ; 6)$ : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on donne les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$.
Calculer le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Saisir la valeur de $\det(\vec{u}, \vec{v})$.
Dans un repère du plan, on considère les points $A(-2\,; 1)$, $B(3\,; 4)$, $C(1\,; -2)$ et $D(11\,; y)$, où $y$ est un nombre réel.
Pour déterminer la valeur de $y$ telle que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles :
- Exprimer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ en fonction de $y$.
- Utiliser le déterminant de ces deux vecteurs pour calculer la valeur de $y$.
Saisir la valeur de $y$.
Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $A(2, 3)$, $B(5, 9)$ et $C(7, y)$, où $y$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur de $y$ pour que les points $A$, $B$ et $C$ soient alignés.
Saisir la valeur de $y$.
Dans le plan muni d'un repère, on considère les quatre points suivants :
- $A(-1\,; 3)$
- $B(1\,; 2)$
- $C(0\,; k)$
- $D(k+2\,; 1)$
où $k$ désigne un nombre réel.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Saisir la valeur de $k$.