Étape 1
Déterminons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ dans le repère du plan :
Étape 2
$$\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Étape 3
$$\vec{CD}\begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (k+2) - 0 \\ 1 - k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+2 \\ 1-k \end{pmatrix}$$
Étape 4
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.
Étape 5
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, ce qui se traduit par :
Étape 6
$$\det(\vec{AB}, \vec{CD}) = 0$$
Étape 7
Calculons ce déterminant en appliquant la formule $x y' - x' y$ :
Étape 8
$$2 \times (1 - k) - (-1) \times (k + 2) = 0$$
Étape 9
Développons et réduisons l'expression obtenue :
Étape 10
$$2 - 2k + k + 2 = 0$$
Étape 11
$$4 - k = 0$$
Étape 12
Ce qui équivaut à $k = 4$.
Étape 13
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles pour $k = 4$.
Méthode clé
Pour trouver une inconnue garantissant le parallélisme de deux droites, on exprime deux vecteurs directeurs puis on résout l'équation issue de l'annulation de leur déterminant.
Piège à éviter
Faire attention aux erreurs de signes lors du calcul du déterminant $x y' - x' y$, en particulier avec les parenthèses précédées d'un signe moins.
