Étape 1
Pour caractériser l'alignement des points $A(2, 3)$, $B(5, 9)$ et $C(7, y)$, on détermine les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
Étape 2
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 9 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$
Étape 3
$$\vec{AC} = \begin{pmatrix} 7 - 2 \\ y - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ y - 3 \end{pmatrix}$$
Étape 4
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, ce qui équivaut à dire que leur déterminant est nul :
Étape 5
$$\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0$$
Étape 6
On calcule le déterminant :
Étape 7
$$\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 3 \times (y - 3) - 6 \times 5 = 3y - 9 - 30 = 3y - 39$$
Étape 8
L'égalité $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0$ équivaut donc à :
Étape 9
$$3y - 39 = 0$$
Étape 10
$$3y = 39$$
Étape 11
$$y = 13$$
Étape 12
L'ordonnée du point $C$ permettant aux points $A$, $B$ et $C$ d'être alignés est $13$.
Méthode clé
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul : $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0$.
Piège à éviter
Attention aux erreurs de signe lors du calcul du déterminant $x y' - x' y$.
