Tableaux de signes et équations produit/quotient
L'essentiel du cours (3 notions)
Équations produit et quotient
Propriété : - Produit nul : $A(x)B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$. - Équation quotient : $\frac{A(x)}{B(x)} = k \iff A(x) = k \cdot B(x)$ sous la condition $B(x) \neq 0$ (valeur interdite).
Méthode : 1. Poser les conditions d'existence ($B(x) \neq 0$). 2. Se ramener à un quotient nul $\frac{A(x) - kB(x)}{B(x)} = 0$ ou utiliser l'égalité $A(x) = k \cdot B(x)$. 3. Résoudre et exclure les valeurs interdites.
Exemple : $\frac{2x - 4}{x + 1} = 0$ : condition $x \neq -1$. $2x - 4 = 0 \implies x = 2$ (valide car $2 \neq -1$).
Signe d'un produit ou quotient
Propriété : Le signe de $A(x)B(x)$ ou $\frac{A(x)}{B(x)}$ s'obtient par la règle des signes appliquée à chaque facteur affine $ax + b$. Une valeur annulant le dénominateur est une valeur interdite (double barre).
Méthode : 1. Déterminer la racine de chaque facteur ($ax + b = 0 \iff x = -b/a$). 2. Placer le signe de $ax + b$ (du signe de $a$ après la racine). 3. Appliquer la règle des signes par colonne.
Exemple : Pour $P(x) = (x - 1)(3 - x)$ : le produit s'annule en $1$ et $3$, et $P(x) > 0$ sur $]1 ; 3[$.
Inéquations et tableaux de signes
Propriété : Résoudre $f(x) > 0$ ou $f(x) \le 0$ revient à déterminer les intervalles où la ligne bilan du tableau de signes de $f(x)$ satisfait l'inégalité.
Méthode : 1. Transposer tous les termes pour obtenir $0$ au second membre. 2. Factoriser ou réduire au même dénominateur sous forme de produit/quotient de facteurs affines. 3. Dresser le tableau et lire l'ensemble solution $S$.
Exemple : Pour $(x - 2)(x + 3) \ge 0$, le tableau de signes donne $S = ]-\infty ; -3] \cup [2 ; +\infty[$.
On considère l'équation quotient suivante :
$$\frac{3x + 2}{x - 4} = 2$$Pour résoudre cette équation, suivre les étapes ci-dessous :
- Déterminer la valeur interdite en annulant le dénominateur.
- Résoudre l'équation pour toute valeur différente de cette valeur interdite.
Saisir la solution de l'équation.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = (2x - 6)(x + k)$, où $k$ est un nombre réel.
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant 0$ est l'intervalle $[-4 ; 3]$.
Déterminer la valeur du nombre $k$
Saisir la valeur du nombre $k$.
Soit $A(x) = (2x - 8)(x + k)$ une expression algébrique définie sur $\mathbb{R}$, où $k$ est un nombre réel.
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation $A(x) \leqslant 0$ est l'intervalle $[-5 ; 4]$.
- Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le facteur $2x - 8$ s'annule.
- Exprimer en fonction de $k$ la valeur de $x$ qui annule le facteur $x + k$.
- En déduire la valeur du réel $k$ à l'aide d'un tableau de signes.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère l'inéquation suivante, définie pour tout réel $x \neq -5$ :
$$\frac{(2x - 3)(4 - 3x)}{x + 5} > 0$$A l'aide d'un tableau de signe, déterminer le plus grand nombre entier relatif $x$ vérifiant cette inéquation.
Saisir la valeur de cet entier.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $$f(x) = \frac{(x + 5)(3x - k + 1)}{4 - 2x}$$ où $k$ est un nombre réel.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \ge 0$ est $]-\infty ; -5] \cup ]2 ; 4]$.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère l'équation quotient $(E_1) : \dfrac{3x - k}{x + 1} = 2$, où $k$ désigne un nombre réel.
La solution de l'équation $(E_1)$ est égale à la solution strictement positive de l'équation produit $(E_2) : (2x - 10)(x + 4) = 0$.
Déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère l'expression $A(x) = \frac{(3x - 1)^2 - (x + 3)^2}{(2x + 5)^2 - (x - 1)^2}$.
Soit $E$ l'ensemble des réels $x$ vérifiant l'inégalité $A(x) \le 0$.
Saisir le nombre d'entiers relatifs appartenant à l'ensemble $E$.
On considère l'équation quotient d'inconnue $x$ dépendante d'un paramètre réel $k$ :
$$\frac{(2x - 1)(x + 4) - (x + 4)(x - 3)}{(x + 4)(2x - k)} = 0$$On cherche à déterminer pour quelle valeur du réel $k$ cette équation ne possède aucune solution dans $\mathbb{R}$.
Saisir la valeur du réel $k$.