Exercice : Tableaux de signes et équations produit/quotient

Étape 1

Résolution de l'équation $2x - 8 = 0$ : $$2x - 8 = 0 \iff 2x = 8 \iff x = 4$$ Le facteur $2x - 8$ s'annule donc en $x = 4$.

Étape 2

Résolution de l'équation $x + k = 0$ : $$x + k = 0 \iff x = -k$$ Le facteur $x + k$ s'annule donc en $x = -k$.

Étape 3

Les coefficients devant $x$ dans les deux facteurs ($2$ et $1$) sont strictement positifs. Chaque facteur est donc strictement négatif avant sa valeur d'annulation, puis strictement positif après.

Étape 4

On dresse le tableau de signes de l'expression $A(x)$ : $$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -k & & 4 & & +\infty \\ \hline 2x - 8 & & - & | & - & 0 & + \\ x + k & & - & 0 & + & | & + \\ \hline A(x) & & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$

Étape 5

D'après le tableau de signes, l'ensemble des solutions de l'inéquation $A(x) \leqslant 0$ est l'intervalle $[-k ; 4]$.

Étape 6

Par identification avec l'intervalle solution $[-5 ; 4]$ donné dans l'énoncé, on obtient : $$-k = -5$$ ce qui équivaut à : $$k = 5$$