Étape 1
Pour déterminer l'ensemble $E$ des solutions réelles de l'inégalité $A(x) \le 0$, nous devons d'abord factoriser le numérateur et le dénominateur de l'expression $A(x)$.
Étape 2
On factorise le numérateur $N(x) = (3x - 1)^2 - (x + 3)^2$ à l'aide de l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ : $$N(x) = [(3x - 1) - (x + 3)][(3x - 1) + (x + 3)]$$ $$N(x) = (2x - 4)(4x + 2)$$ Les valeurs qui annulent le numérateur sont $x = 2$ et $x = -\frac{1}{2}$.
Étape 3
De même, on factorise le dénominateur $D(x) = (2x + 5)^2 - (x - 1)^2$ : $$D(x) = [(2x + 5) - (x - 1)][(2x + 5) + (x - 1)]$$ $$D(x) = (x + 6)(3x + 4)$$ Les valeurs qui annulent le dénominateur sont $x = -6$ et $x = -\frac{4}{3}$. Ce sont les valeurs interdites de l'expression $A(x)$.
Étape 4
On dresse le tableau de signes de $A(x)$ en ordonnant l'ensemble des valeurs annulatrices : $-6$, $-\frac{4}{3}$, $-\frac{1}{2}$ et $2$.
Étape 5
$$\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -6 & & -\frac{4}{3} & & -\frac{1}{2} & & 2 & & +\infty \\ \hline 2x-4 & & - & | & - & | & - & | & - & 0 & + \\ 4x+2 & & - & | & - & | & - & 0 & + & | & + \\ x+6 & & - & 0 & + & | & + & | & + & | & + \\ 3x+4 & & - & | & - & 0 & + & | & + & | & + \\ \hline A(x) & & + & || & - & || & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$
Étape 6
L'expression $A(x)$ est négative ou nulle sur l'ensemble $E = ]-6 ; -\frac{4}{3}[ \cup [-\frac{1}{2} ; 2]$.
Étape 7
Dénombrons les entiers relatifs appartenant à cet ensemble $E$ :
- Dans l'intervalle $]-6 ; -\frac{4}{3}[$, sachant que $-\frac{4}{3} \approx -1{,}33$, les entiers relatifs sont $-5$, $-4$, $-3$ et $-2$ (l'entier $-6$ est exclu car c'est une valeur interdite).
- Dans l'intervalle $[-\frac{1}{2} ; 2]$, sachant que $-\frac{1}{2} = -0{,}5$, les entiers relatifs sont $0$, $1$ et $2$.
- L'entier $-1$ n'appartient pas à $E$ car il est situé dans l'intervalle $]-\frac{4}{3} ; -\frac{1}{2}[$ où $A(x) > 0$.
Étape 8
L'ensemble des entiers relatifs solutions est donc $\{-5, -4, -3, -2, 0, 1, 2\}$. Il y en a exactement $7$.
Méthode clé
Factoriser totalement le numérateur et le dénominateur au premier degré afin de dresser un tableau de signes rigoureux du quotient.
Piège à éviter
Oublier les valeurs interdites qui annulent le dénominateur ou inclure à tort des entiers situés dans un intervalle où l'expression est strictement positive.
