Étape 1
Déterminons d'abord la valeur qui annule le premier facteur $2x - 6$ : $$2x - 6 = 0 \quad \text{donne} \quad 2x = 6 \quad \text{soit} \quad x = 3$$ La valeur $x = 3$ correspond à la borne supérieure de l'intervalle solution $[-4 ; 3]$.
Étape 2
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant 0$ est $[-4 ; 3]$. Les bornes d'un tel intervalle sont les valeurs où le produit $f(x)$ s'annule. Comme $x = 3$ annule le facteur $2x - 6$, la borne inférieure $x = -4$ doit annuler le second facteur $x + k$.
Étape 3
On résout donc l'équation $-4 + k = 0$ pour trouver $k$ : $$-4 + k = 0 \quad \text{d'où} \quad k = 4$$
Étape 4
Vérifions le résultat avec le tableau de signes de la fonction $f(x) = (2x - 6)(x + 4)$ : $$\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -4 & & 3 & & +\infty \\ \hline 2x-6 & & - & | & - & 0 & + \\ x+4 & & - & 0 & + & | & + \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ On constate que $f(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ appartenant à $[-4 ; 3]$, ce qui confirme que $k = 4$.
Méthode clé
Les bornes de l'intervalle solution d'une inéquation produit correspondent aux valeurs qui annulent chacun des facteurs affines.
Piège à éviter
Attention aux signes : si $x + k = 0$ pour $x = -4$, on obtient $-4 + k = 0$, ce qui donne $k = 4$ et non $k = -4$.
