Étape 1
Pour déterminer la valeur du réel $k$, déterminons d'abord la solution strictement positive de l'équation produit $(E_2)$.
Étape 2
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul. On résout donc dans $\mathbb{R}$ : $$(2x - 10)(x + 4) = 0$$ Ce qui équivaut à : $$2x - 10 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0$$ $$2x = 10 \quad \text{ou} \quad x = -4$$ $$x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -4$$ L'équation $(E_2)$ admet deux solutions : $-4$ et $5$. La solution strictement positive est donc $x = 5$.
Étape 3
Déterminons maintenant l'ensemble de définition de l'équation quotient $(E_1)$. L'expression $\dfrac{3x - k}{x + 1}$ est définie pour tout nombre réel $x$ tel que son dénominateur ne s'annule pas, soit : $$x + 1 \neq 0 \iff x \neq -1$$ L'ensemble de définition est donc $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Comme $5 \neq -1$, le nombre $5$ appartient bien à l'ensemble de définition.
Étape 4
Puisque $x = 5$ est la solution de l'équation $(E_1)$, on substitue $x$ par $5$ dans l'égalité : $$\dfrac{3 \times 5 - k}{5 + 1} = 2$$ $$\dfrac{15 - k}{6} = 2$$ En multipliant par $6$ des deux côtés : $$15 - k = 12$$ $$-k = 12 - 15$$ $$-k = -3 \iff k = 3$$
Étape 5
La valeur du réel $k$ est donc $3$.
Méthode clé
Dans un problème à paramètre, utiliser les informations d'une équation entièrement connue pour déterminer la valeur exacte de l'inconnue $x$, puis substituer cette valeur dans l'équation contenant le paramètre.
Piège à éviter
Conserver la mauvaise solution de l'équation produit (la valeur négative $-4$ au lieu de la valeur positive $5$), ou oublier de vérifier la valeur interdite du quotient ($x \neq -1$).
