Exercice : Tableaux de signes et équations produit/quotient

Étape 1

Analysons les valeurs remarquables intervenant dans le quotient $f(x)$.

Étape 2

Le dénominateur $4 - 2x$ s'annule pour $x = 2$. Il s'agit de la valeur interdite, ce qui explique l'exclusion du nombre $2$ dans l'ensemble solution $]-\infty ; -5] \cup ]2 ; 4]$.

Étape 3

Le premier facteur du numérateur $x + 5$ s'annule pour $x = -5$, ce qui correspond à la première borne fermée de l'ensemble solution.

Étape 4

Par conséquent, la seconde borne fermée $x = 4$ doit annuler le facteur restant au numérateur, à savoir $3x - k + 1$.

Étape 5

En substituant $x$ par $4$ dans l'équation $3x - k + 1 = 0$, nous obtenons :

Étape 6

$$3 \times 4 - k + 1 = 0$$ $$12 - k + 1 = 0$$ $$13 - k = 0$$ Ce qui équivaut à $k = 13$.

Étape 7

Vérification : pour $k = 13$, le second facteur s'écrit $3x - 12$. L'étude du signe de chaque facteur confirme bien que $f(x) \ge 0$ pour $x \in ]-\infty ; -5] \cup ]2 ; 4]$.