Étape 1
Pour résoudre cette équation quotient, on détermine en premier lieu les valeurs interdites en recherchant les réels qui annulent le dénominateur.
Étape 2
Le dénominateur s'annule si et seulement si :$$(x + 4)(2x - k) = 0$$ Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Ce qui équivaut à $x + 4 = 0$ ou $2x - k = 0$, c'est-à-dire $x = -4$ ou $x = \frac{k}{2}$. L'ensemble de définition de l'équation est donc $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-4 \,;\, \frac{k}{2}\right\}$.
Étape 3
On cherche ensuite les valeurs qui annulent le numérateur $N(x) = (2x - 1)(x + 4) - (x + 4)(x - 3)$. En factorisant par le facteur commun $(x + 4)$, on obtient :$$N(x) = (x + 4)\big[(2x - 1) - (x - 3)\big] = (x + 4)(x + 2)$$
Étape 4
Le numérateur s'annule si et seulement si $(x + 4)(x + 2) = 0$, c'est-à-dire pour $x = -4$ ou $x = -2$.
Étape 5
On compare enfin ces valeurs candidates avec les valeurs interdites : la valeur $x = -4$ est une valeur interdite pour tout réel $k$, elle ne peut donc jamais être solution. La seule solution candidate restante pour l'équation est $x = -2$.
Étape 6
Pour que l'équation n'admette aucune solution, il faut et il suffit que $x = -2$ soit elle aussi une valeur interdite. On doit donc avoir :$$\frac{k}{2} = -2$$ ce qui équivaut à $k = -4$.
Méthode clé
Pour qu'une équation quotient n'ait aucune solution, toutes les valeurs annulant son numérateur doivent être des valeurs interdites (valeurs annulant son dénominateur).
Piège à éviter
Oublier de déterminer les valeurs interdites du dénominateur avant de conclure sur les solutions.
