Calculs de probabilités simples
L'essentiel du cours (5 notions)
Encadrement et échelle des probabilités
Propriété : Pour tout événement $A$, $0 \le P(A) \le 1$. La probabilité d'un événement impossible est $0$ et celle d'un événement certain est $1$.
Exemple : Si un calcul donne $P(A) = 1{,}2$ ou $P(A) = -0{,}3$, le résultat est nécessairement faux.
Probabilité de l'événement contraire
Propriété : L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, rassemble toutes les issues de l'univers qui ne réalisent pas $A$.
Formule : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
Exemple : Si $P(A) = 0{,}3$, alors la probabilité de l'événement contraire est $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.
Probabilité d'un événement et issues
Propriété : La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des issues élémentaires qui le composent.
Exemple : Si $P(1) = 0{,}1$ et $P(2) = 0{,}2$, la probabilité d'obtenir $1$ ou $2$ vaut $0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3$.
Calcul en situation d'équiprobabilité
Propriété : Cette formule s'applique uniquement lorsque toutes les issues ont exactement la même probabilité d'apparaître.
Formule : $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$
Exemple : Pour un dé équilibré à 6 faces, la probabilité d'obtenir un nombre pair est $P(A) = \frac{3}{6} = 0{,}5$.
Loi des grands nombres et simulation
Propriété : Lorsque le nombre $n$ de répétitions augmente, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique.
Méthode : Simuler $n$ expériences (Python ou tableur) puis calculer la fréquence $f = \frac{\text{succès}}{n}$ pour estimer la probabilité inconnue.
Exemple : Après $10\,000$ lancers simulés, la fréquence de Pile égale à $0{,}502$ permet d'estimer la probabilité à $0{,}5$.
Un sac contient $20$ jetons identiques numérotés de $1$ à $20$. On tire au hasard un jeton dans le sac.
On considère l'événement $A$ : « le numéro du jeton obtenu est un multiple de $3$ ».
En déterminant d'abord le nombre total d'issues $\text{Card}(\Omega)$ puis le nombre d'issues favorables $\text{Card}(A)$, déterminer la probabilité de l'événement $A$.
Saisir la valeur de $P(A)$ sous la forme d'une fraction irréductible.
Une expérience aléatoire comporte trois issues possibles notées $e_1$, $e_2$ et $e_3$.
On donne $P(e_1) = 0{,}25$ et $P(e_2) = 0{,}4$.
Déterminer la probabilité de l'issue $e_3$.
Saisir la valeur de $P(e_3)$ sous forme décimale.
On lance un dé truqué à 5 faces, numérotées de 1 à 5. La loi de probabilité est donnée par :
- $P(1) = 0{,}15$
- $P(2) = 0{,}25$
- $P(3) = 0{,}3$
- $P(4) = 0{,}1$
- $P(5) = 0{,}2$
On considère l'événement $E$ : « Obtenir un nombre impair ».
Calculer la probabilité de l'événement $E$.
Saisir la valeur de la probabilité sous forme décimale.
On considère un événement $A$ au sein d'une expérience aléatoire, tel que $P(A) = 0{,}65$.
Déterminer la probabilité de l'événement contraire, noté $\bar{A}$.
Saisir la valeur de $P(\bar{A})$ sous forme décimale.
Un sac contient $12$ jetons rouges et $n$ jetons verts, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton dans le sac. Chaque jeton a la même probabilité d'être tiré.
La probabilité d'obtenir un jeton vert est égale à $\dfrac{2}{5}$.
Saisir la valeur de $n$.
Une roue de loterie comporte 5 secteurs représentés par les issues $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$.
Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité associée à cette expérience :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Issue} & A & B & C & D & E \\ \hline \text{Probabilité} & 0{,}10 & 0{,}30 & 0{,}15 & 0{,}25 & ? \\ \hline \end{array}$$Calculer la probabilité de l'événement $M$ : « Obtenir $B$, $D$ ou $E$ ».
Saisir la valeur de la probabilité sous forme décimale.
Dans une expérience aléatoire, la probabilité d'un événement $A$ dépend d'un nombre réel $x$ et est donnée par l'expression $P(A) = 2{,}4 x - 0{,}8$.
On sait que l'événement $A$ est un événement certain.
Saisir la valeur du paramètre $x$.
Un sac opaque contient des jetons de quatre couleurs différentes : rouges, bleus, verts et jaunes. On tire un jeton au hasard.
La probabilité d'obtenir un jeton rouge est égale à $0{,}15$ et la probabilité d'obtenir un jeton bleu est égale à $0{,}20$.
Déterminer la probabilité de ne tirer ni un jeton rouge, ni un jeton bleu.
Saisir la valeur sous forme d'un nombre décimal.
Un script Python simule la somme obtenue lors du lancer de deux dés équilibrés à 6 faces :
from random import randint
succes = 0
N = 5000
for i in range(N):
de1 = randint(1, 6)
de2 = randint(1, 6)
if de1 + de2 >= 9:
succes = succes + 1Lors d'une exécution de ce script pour $N = 5000$ répétitions, la variable succes prend la valeur $1385$.
En utilisant ce résultat de simulation, estimer la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à $9$.
Saisir l'estimation de la probabilité arrondie au centième.
Une urne contient $20$ jetons identiques au toucher, parmi lesquels se trouvent $k$ jetons rouges (où $k$ est un entier compris entre $1$ et $20$).
Afin d'estimer la valeur de $k$, un élève simule $100\ 000$ tirages successifs d'un jeton avec remise à l'aide du script Python suivant :
import random
k = ? # Valeur inconnue
n = 100000
compteur = 0
for i in range(n):
tirage = random.randint(1, 20)
if tirage <= k:
compteur = compteur + 1
frequence = compteur / n
print("Fréquence :", frequence)Lors de l'exécution de ce script, la console affiche : Fréquence : 0.35.
En exploitant ce résultat, déterminer le nombre $k$ de jetons rouges présents dans l'urne.
Saisir la valeur de $k$.