Probabilités conditionnelles et arbres
L'essentiel du cours (5 notions)
Modélisation par arbre ou tableau
Propriété : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à $1$.
Méthode : 1. Identifier les événements et noter leurs probabilités. 2. Sur l'arbre : placer $P(A)$ au 1er niveau, puis $P_A(B)$ au 2e niveau. 3. Dans le tableau : compléter effectifs ou fréquences.
Probabilité conditionnelle et intersection
Propriété : $P_A(B)$ est la probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ est réalisé (avec $P(A) \neq 0$).
Formule : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(A)}$
Exemple : Si $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$, alors $P_A(B) = \frac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$.
Lecture des probabilités sur arbre
Propriété : Les branches du 1er niveau portent les probabilités simples $P(A)$. Celles du 2e niveau portent les probabilités conditionnelles $P_A(B)$.
Exemple : La branche allant de $A$ vers $B$ porte la probabilité $P_A(B)$, soit la probabilité de $B$ sachant $A$.
Probabilité d'un chemin sur arbre
Propriété : La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités figurant sur ses branches.
Formule : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
Exemple : Si $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$, la probabilité du chemin passant par $A$ puis $B$ est $0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$.
Distinguer $P_A(B)$ et $P_B(A)$
Propriété : $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont distinctes car l'information connue (le conditionnement) est inversée.
Exemple : $P_M(T)$ : probabilité d'un test positif si malade. $P_T(M)$ : probabilité d'être malade si test positif.
Un groupe de $1\text{ }000$ personnes a participé à une étude pour évaluer l'efficacité d'un test diagnostique d'une maladie $M$. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{c|c|c|c}& \text{Malade } (M) & \text{Non malade } (\overline{M}) & \text{Total} \\ \hline \text{Test positif } (T) & 80 & 20 & 100 \\ \hline \text{Test négatif } (\overline{T}) & 10 & 890 & 900 \\ \hline \text{Total} & 90 & 910 & 1\text{ }000\end{array}$$On choisit au hasard une personne parmi celles dont le test est positif.
Quelle est la probabilité que cette personne soit réellement malade ?
Saisir la valeur sous forme d'un nombre décimal.
Un club sportif compte $200$ adhérents. La situation est représentée par l'arbre de probabilité ci-dessous où $A$ désigne l'événement « l'adhérent est un adulte » et $T$ désigne l'événement « l'adhérent pratique le tennis ».
- $60\%$ des adhérents sont des adultes.
- Parmi les adultes, $70\%$ pratiquent le tennis.
- Parmi les mineurs (événement $\bar{A}$), une proportion $p$ pratique le tennis.
- Au total, $116$ adhérents du club pratiquent le tennis.
Pour déterminer la valeur de la proportion $p$ :
- Calculer le nombre d'adultes et le nombre de mineurs du club.
- Calculer le nombre d'adultes qui pratiquent le tennis.
- En déduire le nombre de mineurs pratiquant le tennis, puis déterminer la valeur de $p$.
Saisir la valeur de $p$ sous forme décimale.
Un lycée compte $200$ élèves de seconde. La répartition des élèves selon leur régime (externe ou demi-pensionnaire) et l'option choisie (Arts ou Musique) est donnée dans le tableau croisé d'effectifs ci-dessous :
$$\begin{array}{c|cc|c}& \text{Option Arts } (A) & \text{Option Musique } (M) & \text{Total} \\ \hline \text{Externe } (E) & 40 & 60 & 100 \\ \text{Demi-pensionnaire } (D) & 30 & 70 & 100 \\ \hline \text{Total} & 70 & 130 & 200 \end{array}$$On choisit un élève au hasard parmi l'ensemble des élèves de seconde.
Déterminer la probabilité que cet élève suive l'option Arts sachant qu'il est externe.
Saisir cette probabilité sous forme d'un nombre décimal.
Un salon de thé étudie les choix de sa clientèle.
- L'événement $A$ est : « Le client commande une boisson chaude ».
- L'événement $B$ est : « Le client commande un dessert ».
On sait que $60\,\%$ des clients commandent une boisson chaude ($P(A) = 0{,}6$).
Parmi les clients qui commandent une boisson chaude, $75\,\%$ commandent également un dessert. Ainsi, la probabilité conditionnelle d'avoir $B$ sachant $A$ vaut $P_A(B) = 0{,}75$.
La situation est représentée ci-dessous par un arbre pondéré.
Saisir la valeur de $P_A(\overline{B})$ sous forme d'un nombre décimal.
On considère une expérience aléatoire représentée par l'arbre de probabilités ci-dessous.
En suivant le chemin correspondant à l'événement $A \cap B$, déterminer la probabilité $P(A \cap B)$.
Saisir la valeur de $P(A \cap B)$ sous forme décimale.
Lors d'une étude épidémiologique portant sur un groupe de $1\ 000$ personnes :
- $100$ personnes sont atteintes d'une maladie ;
- parmi les personnes malades, $90$ ont un test de dépistage positif ;
- parmi les personnes non malades, $30$ ont un test de dépistage positif.
On choisit au hasard une personne dont le test de dépistage est positif.
Saisir sous forme décimale la probabilité que cette personne soit réellement malade.
Dans un groupe de lycéens, on s'intéresse à la pratique d'un sport et d'un instrument de musique. Le tableau ci-dessous résume les effectifs des élèves, où $x$ désigne un nombre entier naturel d'élèves.
| Pratique la musique | Ne pratique pas la musique | |
|---|---|---|
| Pratique un sport | $x$ | $30$ |
| Ne pratique pas de sport | $10$ | $20$ |
On sait que parmi les élèves qui pratiquent un sport, la proportion de ceux qui pratiquent aussi la musique est égale à $0{,}4$.
Déterminer la valeur du nombre $x$.
Saisir la valeur de $x$.
Une étude menée dans un lycée s'intéresse à deux événements $A$ et $B$. La situation est modélisée par l'arbre de probabilités ci-contre, où $x$ désigne la probabilité associée à la branche menant à l'événement $A$.
On sait que la probabilité globale de l'événement $B$ est égale à $0{,}65$.
Déterminer la valeur du nombre $x$.
Saisir la valeur de $x$.
Une association sportive compte $200$ adhérents.
Dans cette association :
- $120$ adhérents pratiquent la natation ;
- parmi les adhérents pratiquant la natation, $45\,\%$ pratiquent également le cyclisme ;
- au total, $110$ adhérents ne pratiquent pas le cyclisme.
On choisit un adhérent au hasard parmi les $200$.
Quelle est la probabilité que cet adhérent ne pratique ni la natation, ni le cyclisme ?
Saisir la probabilité sous forme d'un nombre décimal.
Dans une entreprise, on étudie la répartition des salariés selon leur statut (cadre ou non-cadre) et leur mode de travail (en télétravail ou sur site).
Une étude interne fournit les effectifs suivants pour les salariés pratiquant le télétravail :
- Le nombre de cadres en télétravail est égal à $2k + 5$, où $k$ est un nombre entier naturel.
- Le nombre de non-cadres en télétravail est égal à $k + 10$.
On choisit au hasard un salarié parmi l'ensemble des salariés pratiquant le télétravail. La probabilité que ce salarié soit un cadre est égale à $\dfrac{5}{9}$.
Saisir la valeur de $k$.
Dans un lycée, chaque élève de seconde étudie soit l'allemand ($A$), soit l'espagnol ($\overline{A}$). Certains élèves pratiquent un sport en club ($S$), d'autres non ($\overline{S}$).
On dispose de l'arbre de probabilité incomplet ci-dessous représentant cette situation :
On sait par ailleurs que la probabilité qu'un élève choisi au hasard étudie l'espagnol et pratique un sport en club est égale à $0{,}45$, c'est-à-dire que $P(\overline{A} \cap S) = 0{,}45$.
Saisir sous forme décimale la valeur de la probabilité $p$ affectée à la branche allant de $\overline{A}$ vers $S$.