Exercice probabilités, probabilité conditionnelle, test diagnostique — Probabilités conditionnelles et arbres (2nde)

★ Standard

Un groupe de $1\text{ }000$ personnes a participé à une étude pour évaluer l'efficacité d'un test diagnostique d'une maladie $M$. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{c|c|c|c}& \text{Malade } (M) & \text{Non malade } (\overline{M}) & \text{Total} \\ \hline \text{Test positif } (T) & 80 & 20 & 100 \\ \hline \text{Test négatif } (\overline{T}) & 10 & 890 & 900 \\ \hline \text{Total} & 90 & 910 & 1\text{ }000\end{array}$$

On choisit au hasard une personne parmi celles dont le test est positif.

Quelle est la probabilité que cette personne soit réellement malade ?

Saisir la valeur sous forme d'un nombre décimal.

Correction détaillée Étape par étape

✓

Réponse finale

0,8

Étape 1

On cherche à déterminer la probabilité qu'un individu soit malade sachant que son test est positif, notée $P_T(M)$.

Étape 2

La condition « le test est positif » restreint l'étude à la sous-population des personnes correspondant à la ligne « Test positif » ($T$).

Étape 3

D'après le tableau, le nombre total de personnes ayant un test positif est égal à $100$.

Étape 4

Parmi ces $100$ personnes, $80$ sont réellement malades.

Étape 5

La probabilité recherchée est donc : $$P_T(M) = \frac{80}{100} = 0{,}8$$

Étape 6

La probabilité qu'une personne testée positive soit malade est égale à $0{,}8$.

Méthode clé

Pour calculer la probabilité conditionnelle $P_T(M)$ à partir d'un tableau d'effectifs, on divise l'effectif correspondant à l'intersection (malade et test positif) par l'effectif total de la sous-population conditionnante (test positif).

Piège à éviter

Ne pas confondre $P_T(M)$ (sachant que le test est positif, diviser par 100) et $P_M(T)$ (sachant que la personne est malade, diviser par 90) ni diviser par la population totale (1 000).

Série en jeu !

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Exercice : Probabilités conditionnelles et arbres

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