Exercice : Probabilités conditionnelles et arbres

Étape 1

Sur l'arbre de probabilités, deux chemins distincts mènent à l'événement $B$ : celui passant par $A$ et celui passant par $\overline{A}$.

Étape 2

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches. La probabilité du premier chemin est $x \times 0{,}8 = 0{,}8x$. La probabilité du second chemin est $(1-x) \times 0{,}3 = 0{,}3 - 0{,}3x$.

Étape 3

La probabilité globale de l'événement $B$ s'obtient en additionnant la probabilité de ces deux chemins : $$P(B) = 0{,}8x + (0{,}3 - 0{,}3x) = 0{,}5x + 0{,}3$$

Étape 4

L'énoncé indique que cette probabilité vaut $0{,}65$. On pose et résout l'équation suivante : $$0{,}5x + 0{,}3 = 0{,}65$$ Ce qui équivaut à $0{,}5x = 0{,}35$, d'où $x = \dfrac{0{,}35}{0{,}5} = 0{,}7$.