Exercice : Probabilités conditionnelles et arbres

Étape 1

Notons $T$ l'événement « le salarié pratique le télétravail » et $C$ l'événement « le salarié est un cadre ».

Étape 2

Déterminons l'effectif total des salariés pratiquant le télétravail en fonction de $k$ :

Étape 3

$$\text{Card}(T) = (2k + 5) + (k + 10) = 3k + 15$$

Étape 4

Calculons la probabilité qu'un salarié soit un cadre sachant qu'il pratique le télétravail :

Étape 5

$$P_T(C) = \frac{\text{Card}(C \cap T)}{\text{Card}(T)} = \frac{2k + 5}{3k + 15}$$

Étape 6

D'après l'énoncé, cette probabilité est égale à $\dfrac{5}{9}$. On obtient donc l'équation :

Étape 7

$$\frac{2k + 5}{3k + 15} = \frac{5}{9}$$

Étape 8

En utilisant l'égalité des produits en croix, cette équation équivaut à :

Étape 9

$$9(2k + 5) = 5(3k + 15)$$

Étape 10

Développons chaque membre :

Étape 11

$$18k + 45 = 15k + 75$$

Étape 12

Isolons l'inconnue $k$ :

Étape 13

$$18k - 15k = 75 - 45$$

Étape 14

$$3k = 30$$

Étape 15

$$k = 10$$

Étape 16

La valeur de l'entier $k$ est donc $10$.