Exercice : Probabilités conditionnelles et arbres

Étape 1

Notons $S$ l'événement « l'élève pratique un sport » et $M$ l'événement « l'élève pratique la musique ».

Étape 2

On s'intéresse à la sous-population des élèves qui pratiquent un sport. D'après le tableau, l'effectif total de cette catégorie est : $$\text{Card}(S) = x + 30$$

Étape 3

L'effectif des élèves qui pratiquent à la fois un sport et la musique est : $$\text{Card}(S \cap M) = x$$

Étape 4

La proportion d'élèves pratiquant la musique parmi ceux qui pratiquent un sport s'exprime par la probabilité conditionnelle $P_S(M)$ : $$P_S(M) = \frac{\text{Card}(S \cap M)}{\text{Card}(S)} = \frac{x}{x + 30}$$

Étape 5

D'après les données de l'énoncé, cette proportion vaut $0{,}4$. On pose donc l'équation : $$\frac{x}{x + 30} = 0{,}4$$

Étape 6

En multipliant chaque membre par $x + 30$, on obtient : $$x = 0{,}4 \times (x + 30)$$ $$x = 0{,}4x + 12$$

Étape 7

En isolant l'inconnue $x$ : $$x - 0{,}4x = 12$$ $$0{,}6x = 12$$ $$x = \frac{12}{0{,}6} = 20$$

Étape 8

Le nombre $x$ d'élèves pratiquant à la fois le sport et la musique est donc égal à $20$.