Notion de vecteur et somme vectorielle
L'essentiel du cours (3 notions)
Relation de Chasles
Propriété : Pour tous points $A$, $B$, $C$ du plan : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Méthode : Transformer les soustractions en vecteurs opposés ($-\vec{UV} = \vec{VU}$) puis appliquer la relation de Chasles en mettant les vecteurs bout à bout.
Exemple : $\vec{MA} + \vec{AT} - \vec{MT} = \vec{MA} + \vec{AT} + \vec{TM} = \vec{MM} = \vec{0}$.
Somme de même origine
Propriété : Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Méthode : Pour construire $\vec{u} + \vec{v}$ de même origine $A$, tracer le parallélogramme $ABCD$ : la diagonale issue de $A$ (vecteur $\vec{AC}$) donne la somme.
Exemple : Dans un rectangle $ABCD$ : $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Décomposition dans une base
Définition : Dans le plan, si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, tout vecteur $\vec{w}$ s'écrit de manière unique $\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}$.
Méthode : Introduire un point avec la relation de Chasles pour exprimer le vecteur uniquement en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Exemple : Si $I$ est le milieu de $[BC]$ : $\vec{AI} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$.
Dans le réseau de parallélogrammes ci-dessous, la famille $(\vec{u}, \vec{v})$ forme une base du plan.
Le vecteur $\vec{w}$ a la même origine que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
En vous aidant des lignes du maillage, décomposez le vecteur $\vec{w}$ sous la forme :
$$\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$$où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
Saisir la valeur du coefficient $a$.
Dans le repère ci-dessous, deux vecteurs $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$ ayant la même origine $O(0;0)$ sont représentés sur un quadrillage où chaque carreau mesure $1\text{ unité}$ sur $1\text{ unité}$.
Déterminer la position du point $C$ tel que $\vec{OC} = \vec{u} + \vec{v}$.
Saisir l'ordonnée du point $C$.
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
On considère la somme vectorielle suivante :
$$\vec{u} = 5\vec{AB} + 8\vec{BC} - 3\vec{BC} + 2\vec{CA}$$Exprimer $\vec{u}$ sous la forme $\vec{u} = k \cdot \vec{AC}$, où $k$ est un nombre réel.
Saisir la valeur du nombre $k$.
Soit $ABC$ un triangle non aplati. Le point $D$ est défini par la relation vectorielle suivante :
$$\vec{AD} = \vec{AB} - 2\vec{BC}$$On cherche à exprimer le vecteur $\vec{AD}$ uniquement en fonction des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, sous la forme :
$$\vec{AD} = x\vec{AB} + y\vec{AC}$$où $x$ et $y$ sont deux nombres réels.
Saisir la valeur du réel $x$.
Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points quelconques du plan.
On considère l'expression vectorielle suivante :
$$\vec{u} = 5\vec{AC} - 3\vec{AC} + 2\vec{BA} + 2\vec{BD} + 2\vec{DC}$$En réduisant cette expression, on peut l'écrire sous la forme $\vec{u} = k \cdot \vec{BC}$, où $k$ est un nombre réel.
Saisir la valeur du nombre $k$.
Dans un repère du plan, on considère les points $A(-2\,; 1)$, $B(3\,; 4)$ et $C(1\,; -3)$.
Le point $D$ est défini par la relation vectorielle $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$.
Saisir l'abscisse du point $D$.