Exercice : Notion de vecteur et somme vectorielle

Étape 1

On cherche à simplifier l'expression vectorielle $\vec{u} = 5\vec{AC} - 3\vec{AC} + 2\vec{BA} + 2\vec{BD} + 2\vec{DC}$ afin de l'exprimer sous la forme $k \cdot \vec{BC}$.

Étape 2

Tout d'abord, on réduit la combinaison des deux premiers termes comportant le vecteur $\vec{AC}$ : $$5\vec{AC} - 3\vec{AC} = 2\vec{AC}$$ L'expression devient : $$\vec{u} = 2\vec{AC} + 2\vec{BA} + 2\vec{BD} + 2\vec{DC}$$

Étape 3

On regroupe les termes ayant le facteur commun $2$ : $$\vec{u} = 2(\vec{BA} + \vec{AC}) + 2(\vec{BD} + \vec{DC})$$

Étape 4

D'après la relation de Chasles, pour tous points $X, Y, Z$, on a $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$. On applique cette propriété à chaque parenthèse : $$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$$ $$\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}$$

Étape 5

On remplace ces expressions dans $\vec{u}$ : $$\vec{u} = 2\vec{BC} + 2\vec{BC} = 4\vec{BC}$$

Étape 6

Par identification avec l'expression $\vec{u} = k \cdot \vec{BC}$, on en déduit $k = 4$.