Exercice : Notion de vecteur et somme vectorielle

Étape 1

On commence par réduire les termes identiques en $\vec{BC}$ :

Étape 2

$$8\vec{BC} - 3\vec{BC} = 5\vec{BC}$$

Étape 3

On réécrit l'expression du vecteur $\vec{u}$ :

Étape 4

$$\vec{u} = 5\vec{AB} + 5\vec{BC} + 2\vec{CA}$$

Étape 5

En factorisant par $5$ les deux premiers termes, on obtient :

Étape 6

$$\vec{u} = 5(\vec{AB} + \vec{BC}) + 2\vec{CA}$$

Étape 7

D'après la relation de Chasles, on a $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. On remplace dans l'expression :

Étape 8

$$\vec{u} = 5\vec{AC} + 2\vec{CA}$$

Étape 9

Comme le vecteur $\vec{CA}$ est l'opposé du vecteur $\vec{AC}$, on a $\vec{CA} = -\vec{AC}$. On en déduit :

Étape 10

$$\vec{u} = 5\vec{AC} - 2\vec{AC} = 3\vec{AC}$$

Étape 11

On obtient bien $\vec{u} = k \cdot \vec{AC}$ avec $k = 3$.