Exercice : Probabilités conditionnelles et arbres

Étape 1

Pour déterminer la probabilité $p$, c'est-à-dire la probabilité conditionnelle $P_{\overline{A}}(S)$, nous devons d'abord connaître la probabilité de l'événement $\overline{A}$.

Étape 2

La somme des probabilités des branches issues du premier nœud est égale à $1$. On en déduit : $$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$$

Étape 3

D'après la règle du produit le long d'un chemin dans un arbre pondéré, la probabilité de l'intersection $P(\overline{A} \cap S)$ est égale au produit des probabilités rencontrées le long du chemin passant par $\overline{A}$ puis $S$ : $$P(\overline{A} \cap S) = P(\overline{A}) \times p$$

Étape 4

En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, on obtient : $$0{,}45 = 0{,}75 \times p$$

Étape 5

On en déduit la valeur de $p$ : $$p = \frac{0{,}45}{0{,}75} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$