Étape 1
Soit la fonction quotient $f$ définie pour tout réel $x \neq -5$ par : $$f(x) = \frac{(2x - 3)(4 - 3x)}{x + 5}$$ On cherche à résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.
Étape 2
Étudions tout d'abord le signe de chaque facteur affine composant le quotient :
Étape 3
Pour le facteur $2x - 3$ : $$2x - 3 = 0 \text{ pour } x = \frac{3}{2} = 1{,}5$$ Comme le coefficient devant $x$ est positif ($2 > 0$), l'expression $2x - 3$ est strictement négative sur $]-\infty ; 1{,}5[$ et strictly positive sur $]1{,}5 ; +\infty[$.
Étape 4
Pour le facteur $4 - 3x$ : $$4 - 3x = 0 \text{ pour } x = \frac{4}{3}$$ Le coefficient devant $x$ étant négatif ($-3 < 0$), l'expression $4 - 3x$ est strictement positive sur $\left]-\infty ; \frac{4}{3}\right[$ et strictement négative sur $\left]\frac{4}{3} ; +\infty\right[$.
Étape 5
Pour le dénominateur $x + 5$ : $$x + 5 = 0 \text{ pour } x = -5$$ La valeur $x = -5$ est donc la valeur interdite du quotient. De plus, $x + 5 > 0$ ce qui équivaut à $x > -5$.
Étape 6
Construisons le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-5\}$ : $$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -5 & & \frac{4}{3} & & \frac{3}{2} & & +\infty \\ \hline 2x - 3 & & - & | & - & | & - & 0 & + \\ 4 - 3x & & + & | & + & 0 & - & | & - \\ x + 5 & & - & 0 & + & | & + & | & + \\ \hline f(x) & & + & || & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$
Étape 7
D'après le tableau de signes, le quotient $f(x)$ est strictement positif sur la réunion d'intervalles : $$S = ]-\infty ; -5[ \;\cup\; \left]\frac{4}{3} ; \frac{3}{2}\right[$$
Étape 8
Recherchons à présent les entiers relatifs appartenant à cet ensemble de solutions $S$ :
Étape 9
Sur l'intervalle $\left]\frac{4}{3} ; \frac{3}{2}\right[$, on a $\frac{4}{3} \approx 1{,}33$ et $\frac{3}{2} = 1{,}5$. Cet intervalle ne contient aucun nombre entier.
Étape 10
Sur l'intervalle $]-\infty ; -5[$, les nombres entiers relatifs solutions sont $\dots, -8, -7, -6$. Le plus grand entier strictement inférieur à $-5$ est $-6$.
Étape 11
Le plus grand nombre entier relatif vérifiant l'inéquation est donc $-6$.
Méthode clé
Pour résoudre une inéquation quotient, on étudie le signe de chaque facteur affine puis on dresse un tableau de signes comportant une double barre pour la valeur interdite.
Piège à éviter
Oublier la valeur interdite qui annule le dénominateur ou se tromper dans le signe du facteur $4-3x$ dont le coefficient devant $x$ est négatif.
