Exercice : Colinéarité et déterminant

Étape 1

Dans un repère orthonormé, le déterminant de deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ se calcule grâce à la formule : $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = x y' - x' y$$

Étape 2

En remplaçant par les coordonnées données $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, on obtient : $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 5 - 4 \times 2$$

Étape 3

On effectue les multiplications puis la soustraction : $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 15 - 8 = 7$$

Étape 4

Le déterminant du couple de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$ est donc égal à $7$.