Étape 1
Pour résoudre l'équation $18x^2 - 42x = 0$, on cherche d'abord à factoriser le membre de gauche en identifiant un facteur commun.
Étape 2
On remarque que $x$ (et même $6x$) est un facteur commun aux deux termes :
Étape 3
$$18x^2 - 42x = 6x(3x - 7)$$
Étape 4
L'équation initiale est donc équivalente à l'équation produit nul :
Étape 5
$$6x(3x - 7) = 0$$
Étape 6
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul. On obtient ainsi deux possibilités : $6x = 0$ ou $3x - 7 = 0$.
Étape 7
La première égalité $6x = 0$ donne la solution $x = 0$.
Étape 8
La seconde égalité $3x - 7 = 0$ donne successivement $3x = 7$, puis :
Étape 9
$$x = \frac{7}{3}$$
Étape 10
L'équation possède deux solutions, $0$ et $\frac{7}{3}$. La solution non nulle recherchée est donc $\frac{7}{3}$.
Méthode clé
Pour résoudre une équation du second degré sans terme constant ($ax^2 + bx = 0$), on factorise par $x$ pour se ramener à une équation produit nul.
Piège à éviter
Diviser directement par $x$, ce qui est interdit car $x$ peut être nul et fait perdre une des solutions de l'équation.
