Étape 1
Dans un repère orthonormé, la distance au carré entre deux points $P(x_P, y_P)$ et $Q(x_Q, y_Q)$ est donnée par la formule $PQ^2 = (x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2$.
Étape 2
Calculons les carrés des longueurs des trois côtés du triangle $ABM$ en fonction de $k$ :
Étape 3
Pour le côté $[AB]$ : $$AB^2 = (3 - (-3))^2 + (6 - 2)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$$
Étape 4
Pour le côté $[AM]$ : $$AM^2 = (k - (-3))^2 + (0 - 2)^2 = (k + 3)^2 + (-2)^2 = k^2 + 6k + 9 + 4 = k^2 + 6k + 13$$
Étape 5
Pour le côté $[BM]$ : $$BM^2 = (k - 3)^2 + (0 - 6)^2 = (k - 3)^2 + (-6)^2 = k^2 - 6k + 9 + 36 = k^2 - 6k + 45$$
Étape 6
Le triangle $ABM$ est rectangle en $A$ si et seulement si l'égalité de Pythagore $AB^2 + AM^2 = BM^2$ est vérifiée.
Étape 7
En remplaçant par les expressions obtenues, cela équivaut à : $$52 + (k^2 + 6k + 13) = k^2 - 6k + 45$$
Étape 8
En simplifiant le membre de gauche, on obtient : $$k^2 + 6k + 65 = k^2 - 6k + 45$$
Étape 9
En soustrayant $k^2$ de chaque côté et en regroupant les termes en $k$, on a : $$6k + 6k = 45 - 65$$ $$12k = -20$$
Étape 10
D'où la valeur exacte de $k$ : $$k = -\frac{20}{12} = -\frac{5}{3}$$
Méthode clé
En géométrie repérée, pour prouver qu'un triangle est rectangle sans utiliser le produit scalaire, on traduit la condition d'orthogonalité par l'égalité de Pythagore reliant les carrés des longueurs.
Piège à éviter
Attention au développement de $(k - (-3))^2 = (k + 3)^2$ : ne pas oublier le double produit $6k$. Veiller également à identifier $[BM]$ comme l'hypoténuse.
