Exercice : Résolution de problèmes géométriques

Étape 1

On se place dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$. Les coordonnées des points de référence sont $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.

Étape 2

Par définition des points $D$ et $E$, on obtient directement leurs coordonnées : $D(2;-1)$ et $E(0;3)$.

Étape 3

Pour le barycentre $G_k$, la somme des poids vaut $(1-k) + k + 2 = 3$. D'après la relation vectorielle fournie : $$3\vec{AG_k} = k\vec{AB} + 2\vec{AC}$$ D'où $G_k\left(\frac{k}{3}; \frac{2}{3}\right)$.

Étape 4

Déterminons les coordonnées des vecteurs $\vec{ED}$ et $\vec{EG_k}$ : $$\vec{ED} = (2 - 0 ; -1 - 3) = (2 ; -4)$$ $$\vec{EG_k} = \left(\frac{k}{3} - 0 ; \frac{2}{3} - 3\right) = \left(\frac{k}{3} ; -\frac{7}{3}\right)$$

Étape 5

Les points $D$, $E$ et $G_k$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{ED}$ et $\vec{EG_k}$ sont colinéaires, ce qui équivaut à un déterminant nul : $$\det(\vec{EG_k}, \vec{ED}) = \frac{k}{3} \times (-4) - \left(-\frac{7}{3}\right) \times 2 = 0$$

Étape 6

Ce qui équivaut à : $$-\frac{4k}{3} + \frac{14}{3} = 0$$ En multipliant par $3$, on a $-4k + 14 = 0$, soit $4k = 14$, d'où $k = 3{,}5$.