Étape 1
Déterminons d'abord les coordonnées du point $D$. Comme $ABCD$ est un parallélogramme, on a l'égalité vectorielle $$\vec{AB} = \vec{DC}$$
Étape 2
Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ : $$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 4 - (-2) = 6$$ $$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = 5 - 1 = 4$$ Soient $(x_D ; y_D)$ les coordonnées du point $D$. Les coordonnées du vecteur $\vec{DC}$ sont : $$x_{\vec{DC}} = x_C - x_D = 2 - x_D$$ $$y_{\vec{DC}} = y_C - y_D = 9 - y_D$$
Étape 3
Par égalité des coordonnées vectorielles, on obtient le système : $$2 - x_D = 6 \quad \text{et} \quad 9 - y_D = 4$$ ce qui donne $x_D = -4$ et $y_D = 5$. Ainsi, $D(-4 ; 5)$.
Étape 4
Déterminons ensuite les coordonnées du point $M$, milieu du segment $[BC]$ : $$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ $$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7$$ Ainsi, $M(3 ; 7)$.
Étape 5
Calculons enfin la distance au carré $DM^2$ dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ : $$DM^2 = (x_M - x_D)^2 + (y_M - y_D)^2$$ $$DM^2 = (3 - (-4))^2 + (7 - 5)^2 = 7^2 + 2^2 = 49 + 4 = 53$$
Méthode clé
Pour un parallélogramme $ABCD$, traduire la propriété géométrique par l'égalité vectorielle $\vec{AB} = \vec{DC}$ afin d'isoler les coordonnées du point manquant.
Piège à éviter
Confondre l'ordre des sommets du parallélogramme et écrire $\vec{AB} = \vec{CD}$ au lieu de $\vec{AB} = \vec{DC}$.
