Étape 1
Pour déterminer l'encadrement du réel $A$, réduisons d'abord l'expression au même dénominateur : $$A = \frac{5}{7} + \frac{2}{3} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} + \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{15}{21} + \frac{14}{21} = \frac{29}{21}$$
Étape 2
Effectuons ensuite la division décimale posée de $29$ par $21$ pour connaître ses premiers chiffres après la virgule :
Étape 3
On obtient $29 = 21 \times 1 + 8$, donc le chiffre des unités est $1$.
Étape 4
Puis $80 = 21 \times 3 + 17$, donc le chiffre des dixièmes est $3$.
Étape 5
Puis $170 = 21 \times 8 + 2$, donc le chiffre des centièmes est $8$.
Étape 6
Puis $20 = 21 \times 0 + 20$, donc le chiffre des millièmes est $0$.
Étape 7
Ainsi, la valeur décimale de $A$ commence par : $$A = \frac{29}{21} \approx 1,380...$$
Étape 8
Comme $1,380 < \frac{29}{21} < 1,390$, on en déduit l'encadrement par deux décimaux consécutifs d'ordre 2 : $$1,38 \le A \le 1,39$$
Étape 9
L'amplitude de cet encadrement est bien $1,39 - 1,38 = 0,01 = 10^{-2}$. La borne inférieure $a$ vaut donc $1,38$.
Méthode clé
Pour encadrer une fraction à $10^{-n}$ près, effectuer la division posée jusqu'au rang $10^{-(n+1)}$ pour déterminer avec certitude les deux décimaux encadrants.
Piège à éviter
Confondre un encadrement (bornes encadrant strictement la valeur) avec un arrondi (valeur décimale la plus proche).
