Étape 1
Commençons par déterminer la valeur de $x$ en résolvant l'équation $(2x - 1)^2 = 49$.
Étape 2
L'équation est de la forme $Y^2 = a$ avec $a = 49 > 0$. Elle possède donc deux solutions réelles rédigées ainsi :
Étape 3
$$2x - 1 = 7 \quad \text{ou} \quad 2x - 1 = -7$$
Étape 4
En résolvant la première équation, on obtient $2x = 8$, d'où $x = 4$. En résolvant la seconde équation, on obtient $2x = -6$, d'où $x = -3$.
Étape 5
Le problème imposant que $x$ soit un nombre strictement positif, la seule valeur retenue est $x = 4$.
Étape 6
Exprimons maintenant la différence entre l'aire du carré et l'aire du rectangle en fonction de $x$ et $k$.
Étape 7
L'aire du carré s'écrit $\mathcal{A}_1 = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. L'aire du rectangle s'écrit $\mathcal{A}_2 = x(x + k) = x^2 + kx$.
Étape 8
La différence des aires est égale à :
Étape 9
$$\mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 + kx) = (6 - k)x + 9$$
Étape 10
Sachant que cette différence vaut 25 lorsque $x = 4$, injectons cette valeur dans l'expression :
Étape 11
$$(6 - k) \times 4 + 9 = 25$$
Étape 12
Développons et réduisons cette équation du premier degré d'inconnue $k$ :
Étape 13
$$24 - 4k + 9 = 25$$
Étape 14
$$33 - 4k = 25$$
Étape 15
En isolant $-4k$, il vient $-4k = 25 - 33$, c'est-à-dire $-4k = -8$. On en déduit $k = \dfrac{-8}{-4} = 2$.
Méthode clé
Exprimer algébriquement la différence des aires afin de faire disparaître les termes du second degré $x^2$, puis substituer la valeur de $x$ trouvée pour se ramener à une équation du premier degré en $k$.
Piège à éviter
Oublier que l'équation de la forme $Y^2 = 49$ possède deux solutions ($7$ et $-7$) et omettre de vérifier la condition $x > 0$.
