Étape 1
Pour déterminer la valeur du paramètre $k$, procédons en deux étapes pour exprimer puis calculer le nombre $M$.
Étape 2
Étape 1 : Expression de $M$ en fonction de $k$
Résolvons l'inéquation d'inconnue $x$ dépendant du paramètre $k$ :$$\frac{5x - 3k}{4} - 1 \leqslant \frac{x + k}{2} + 2$$En multipliant chaque membre par $4$, on élimine les dénominateurs :$$5x - 3k - 4 \leqslant 2(x + k) + 8$$$$5x - 3k - 4 \leqslant 2x + 2k + 8$$En regroupant les termes en $x$ dans le membre de gauche :$$5x - 2x \leqslant 2k + 3k + 8 + 4$$$$3x \leqslant 5k + 12$$Comme $3 > 0$, la division par $3$ conserve le sens de l'inégalité :$$x \leqslant \frac{5k + 12}{3}$$L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle $\left]-\infty ; \frac{5k + 12}{3}\right]$. Le plus grand réel de cet ensemble est donc :$$M = \frac{5k + 12}{3}$$
Étape 3
Étape 2 : Calcul de la valeur numérique de $M$
On sait que $-8$ est solution de l'équation d'inconnue $u$ définie par $u^2 = 3M + 13$. En remplaçant $u$ par $-8$, on obtient :$$(-8)^2 = 3M + 13$$$$64 = 3M + 13$$$$3M = 64 - 13$$$$3M = 51$$$$M = 17$$
Étape 4
Étape 3 : Détermination de $k$
Enégalant les deux expressions obtenues pour $M$, on résout l'équation d'inconnue $k$ :$$\frac{5k + 12}{3} = 17$$$$5k + 12 = 51$$$$5k = 39$$$$k = \frac{39}{5} = 7{,}8$$
Méthode clé
Exprimer la borne de l'inégalité de façon symbolique en fonction du paramètre, puis la confronter à sa valeur numérique obtenue via l'équation du second degré incomplète.
Piège à éviter
Confondre l'inconnue $x$ et le paramètre $k$, ou oublier de mettre $-8$ entre parenthèses lors du calcul du carré.
