Inégalités et comparaison d'expressions
L'essentiel du cours (2 notions)
Comparaison de deux quantités
Propriété : Pour comparer deux quantités $a$ et $b$ : - Différence : $a - b > 0 \iff a > b$ (variation additive : $a = b + d$). - Rapport ($a, b > 0$) : $\frac{a}{b} > 1 \iff a > b$ (variation multiplicative : $a = k \times b$).
Méthode : 1. Étudier le signe de la différence $a - b$. 2. Pour des quantités strictement positives, calculer le rapport $\frac{a}{b}$ puis le comparer à $1$.
Exemple : Si $A = 120$ et $B = 100$ : $A - B = 20 > 0$ ($A$ dépasse $B$ de $20$) et $\frac{A}{B} = 1{,}2 > 1$ ($A$ est $1{,}2$ fois plus grand que $B$, soit $+20\%$).
Opérations sur les inégalités
Propriété : - Somme : si $a < b$ et $c < d$, alors $a + c < b + d$. - Produit par un réel $k \neq 0$ : si $a < b$, alors $ka < kb$ pour $k > 0$, mais $ka > kb$ pour $k < 0$ (le sens de l'inégalité s'inverse).
Méthode : Pour encadrer $f(x) = ax + b$ sur un intervalle : multiplier par $a$ (en inversant le sens si $a < 0$), puis ajouter $b$.
Exemple : Pour $1 < x < 3$ : $-6 < -2x < -2$ (multiplication par $-2 < 0$), d'où $-5 < -2x + 1 < -1$.
Soit $x$ un nombre réel tel que $-3 \le x \le 5$.
Déterminez l'encadrement de l'expression $A = -2x + 7$.
Saisir la plus petite valeur possible (la borne inférieure) de l'expression $A$.
Un service de location de vélos propose deux options tarifaires :
- Tarif A : une prise en charge fixe de 12 € puis 2,50 € par heure de location.
- Tarif B : aucun frais fixe, mais 4,50 € par heure de location.
On note $x$ le nombre d'heures de location.
En exprimant le prix de chaque tarif en fonction de $x$, résoudre l'équation obtenue pour déterminer le nombre d'heures pour lequel les deux tarifs coûtent exactement le même prix.
Saisir la valeur du nombre d'heures x.
On considère les deux expressions algébriques définies pour tout nombre réel $x$ par :
$$A(x) = (x + 4)^2$$$$B(x) = x^2 + 8x + 9$$Afin de comparer $A(x)$ et $B(x)$, on étudie la différence $A(x) - B(x)$.
En développant et en réduisant cette différence, déterminer sa valeur constante.
Saisir la valeur de la différence $A(x) - B(x)$.
On considère l'expression $E(x) = (3x - 7)^2 - (x + 3)^2$.
On dispose des deux formes suivantes pour l'expression $E(x)$ :
- Forme A (développée et réduite) : $E(x) = 8x^2 - 48x + 40$
- Forme B (factorisée) : $E(x) = (2x - 10)(4x - 4)$
En choisissant la forme la plus adaptée, résoudre l'équation $E(x) = 0$.
Saisir la valeur de la plus grande solution de l'équation $E(x) = 0$ :
Un artisan étudie deux modèles de coût de production $f(x)$ et $g(x)$ exprimés en centaines d'euros pour une quantité $x > 1{,}5$ mesurée en tonnes :
$$f(x) = (2x - 3)^2 - 25 \quad \text{et} \quad g(x) = (x + 1)(2x + 1)$$Il souhaite déterminer pour quelles quantités $x > 1{,}5$ le coût $f(x)$ est strictement inférieur au coût $g(x)$, c'est-à-dire résoudre l'inéquation $f(x) < g(x)$.
Voici la résolution proposée par un élève :
Étape 1 : Factorisation de $f(x)$ au moyen d'une identité remarquable :
$$f(x) = (2x - 3)^2 - 5^2 = (2x - 3 - 5)(2x - 3 + 5) = (2x - 8)(2x + 2) = 4(x - 4)(x + 1)$$
Étape 2 : Étude de la différence $D(x) = f(x) - g(x)$ par factorisation avec le facteur commun $(x + 1)$ :
$$D(x) = 4(x - 4)(x + 1) - (x + 1)(2x + 1) = (x + 1)[4(x - 4) - (2x + 1)] = (x + 1)(2x - 17)$$
Étape 3 : Analyse du signe des facteurs sur le domaine de travail $x > 1{,}5$ :
Si $x > 1{,}5$, alors $x + 1 > 2{,}5 > 0$. Le facteur $(x + 1)$ est donc strictement positif pour tout $x > 1{,}5$.
Étape 4 : Déduction de l'ensemble des solutions :
Comme $(x + 1) > 0$, l'inéquation $D(x) < 0$ équivaut à $2x - 17 < 0$, soit $x < 8{,}5$. Sur le domaine $x > 1{,}5$, l'ensemble des solutions est l'intervalle $]1{,}5 ; 8{,}5[$.
Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels vérifiant les conditions suivantes :
$$ -1{,}5 \le x \le 3{,}5 \quad \text{et} \quad -4 \le y \le 2{,}5 $$On considère l'expression $E = -6x + 4y - 3$.
Déterminer la plus grande valeur possible que peut prendre l'expression $E$.
Saisir la plus grande valeur possible de l'expression $E$.
Pour tout nombre réel $x > 0$, on considère deux quantités $A(x)$ et $B(x)$ définies par :
$$A(x) = \dfrac{5x + k}{2x + 1} \quad \text{et} \quad B(x) = 2$$où $k$ est un nombre réel fixe.
On sait que pour tout $x > 0$, la différence entre ces deux quantités s'exprime sous la forme :
$$A(x) - B(x) = \dfrac{x + 3}{2x + 1}$$Déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur de k.
On considère l'expression $f(x) = (3x - 2)^2 - (x + 4)^2$, définie pour tout nombre réel $x$.
Déterminer la plus petite valeur réelle $x$ telle que $f(x) \le 0$.
Saisir la valeur minimale sous forme décimale.
Dans un site industriel, la performance de deux chaînes de fabrication $A$ et $B$ est mesurée par un taux de qualité qui dépend du nombre entier $n \ge 1$ de jours de réglage continu.
Pour un nombre $n$ de jours de réglage :
- Le taux de qualité de la chaîne $A$ est exprimé par $A(n) = \dfrac{n + 6}{n + 13}$.
- Le taux de qualité de la chaîne $B$ est exprimé par $B(n) = \dfrac{n + 1}{n + 6}$.
On cherche à déterminer le moment à partir duquel la chaîne $B$ devient strictement plus performante que la chaîne $A$.
Saisir le nombre minimal de jours $n$ à partir duquel le taux de qualité de la chaîne $B$ est strictement supérieur à celui de la chaîne $A$.
On considère les deux expressions algébriques définies pour tout réel $x$ par :
$$A(x) = (2x - 7)^2 - 81 \quad \text{et} \quad B(x) = (x - 8)(x + 6)$$Par une étude algébrique rigoureuse, déterminer la plus petite valeur entière $n \ge 1$ telle que l'inégalité $A(x) \ge B(x)$ soit vérifiée pour tout réel $x \ge n$.
Saisir la valeur de $n$.
Un artisan conçoit deux pièces métalliques :
- La pièce A est une plaque carrée de côté $x + 4\text{ cm}$, au centre de laquelle est découpé un trou carré de côté $x - 1\text{ cm}$ (avec $x > 1$).
- La pièce B est une plaque rectangulaire de largeur $3\text{ cm}$ et de longueur $x + k\text{ cm}$, où $k$ est un nombre réel fixé.
On cherche à déterminer la valeur du paramètre $k$ telle que l'aire de la pièce A soit supérieure ou égale à l'aire de la pièce B si et seulement si $x \ge 6$.
Saisir la valeur de $k$.
On rappelle la propriété suivante : pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, on a $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$, avec égalité si et seulement si $a = b$.
Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs tels que $4x + 9y = 48$.
Déterminer la valeur maximale que peut atteindre le produit $x \times y$.
Saisir la valeur maximale du produit $x \times y$.