Exercice comparaison, difference, expression algebrique — Inégalités et comparaison d'expressions (2nde)

★★ Avancé

Pour tout nombre réel $x > 0$, on considère deux quantités $A(x)$ et $B(x)$ définies par :

$$A(x) = \dfrac{5x + k}{2x + 1} \quad \text{et} \quad B(x) = 2$$

où $k$ est un nombre réel fixe.

On sait que pour tout $x > 0$, la différence entre ces deux quantités s'exprime sous la forme :

$$A(x) - B(x) = \dfrac{x + 3}{2x + 1}$$

Déterminer la valeur du paramètre $k$.

Saisir la valeur de k.

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Réponse finale

Étape 1

Pour comparer les deux quantités, exprimons la différence $A(x) - B(x)$ pour tout réel $x > 0$ en réduisant au même dénominateur $2x + 1$ :

Étape 2

$$A(x) - B(x) = \dfrac{5x + k}{2x + 1} - 2$$

Étape 3

$$A(x) - B(x) = \dfrac{5x + k}{2x + 1} - \dfrac{2(2x + 1)}{2x + 1}$$

Étape 4

$$A(x) - B(x) = \dfrac{5x + k - (4x + 2)}{2x + 1}$$

Étape 5

$$A(x) - B(x) = \dfrac{x + k - 2}{2x + 1}$$

Étape 6

D'après les données de l'énoncé, cette différence est également égale à $\dfrac{x + 3}{2x + 1}$ pour tout $x > 0$.

Étape 7

Par identification des numérateurs, on obtient l'égalité : $x + k - 2 = x + 3$.

Étape 8

En retranchant $x$ de chaque côté, cela équivaut à $k - 2 = 3$, d'où $k = 5$.

Méthode clé

Pour calculer la différence de deux expressions comportant une fraction, on réduit au même dénominateur puis on regroupe les termes au numérateur.

Piège à éviter

Attention au signe moins devant les parenthèses lors du développement du numérateur : $-2(2x + 1) = -4x - 2$.

Exercice : Inégalités et comparaison d'expressions