Étape 1
Pour comparer les deux expressions $A(x)$ et $B(x)$, on étudie le signe de leur différence $D(x) = A(x) - B(x)$.
Étape 2
Commençons par écriture $A(x)$ sous forme factorisée à l'aide de l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = 2x - 7$ et $b = 9$ :$$A(x) = (2x - 7)^2 - 9^2 = (2x - 7 - 9)(2x - 7 + 9) = (2x - 16)(2x + 2)$$En factorisant $2$ dans chacun des deux facteurs, on obtient :$$A(x) = 2(x - 8) \times 2(x + 1) = 4(x - 8)(x + 1)$$
Étape 3
Exprimons maintenant la différence $D(x) = A(x) - B(x)$ :$$D(x) = 4(x - 8)(x + 1) - (x - 8)(x + 6)$$En mettant $(x - 8)$ en facteur commun, il vient :$$D(x) = (x - 8)[4(x + 1) - (x + 6)] = (x - 8)(4x + 4 - x - 6) = (x - 8)(3x - 2)$$
Étape 4
Étudions le signe du produit $D(x) = (x - 8)(3x - 2)$ à l'aide d'un tableau de signes. Les facteurs s'annulent pour $x = 8$ et $x = \dfrac{2}{3}$ :$$\begin{array}{c|cccccc}x & -\infty & & \dfrac{2}{3} & & 8 & & +\infty \\ \hline x - 8 & & - & | & - & 0 & + \\ 3x - 2 & & - & 0 & + & | & + \\ \hline D(x) & & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$
Étape 5
L'inégalité $A(x) \ge B(x)$ est équivalente à $D(x) \ge 0$. D'après le tableau de signes, l'ensemble des solutions de cette inéquation est $S = \left]-\infty ; \dfrac{2}{3}\right] \cup [8 ; +\infty[$.
Étape 6
On cherche la plus petite valeur entière $n \ge 1$ telle que l'intervalle $[n ; +\infty[$ soit entièrement inclus dans $S$. Comme $[8 ; +\infty[ \subseteq S$, l'inégalité est vérifiée pour tout $x \ge 8$. Pour $n = 7$, la valeur $x = 7$ n'appartient pas à $S$ car $D(7) = (7 - 8)(3 \times 7 - 2) = -19 < 0$. La valeur recherchée est donc $n = 8$.
Méthode clé
Pour comparer deux expressions algébriques, il est efficace d'étudier le signe de leur différence après l'avoir écrite sous forme factorisée.
Piège à éviter
Développer complètement les expressions rend la comparaison difficile sans outil du second degré. La forme factorisée est la plus adaptée.
