Exercice : Inégalités et comparaison d'expressions

Un artisan étudie deux modèles de coût de production $f(x)$ et $g(x)$ exprimés en centaines d'euros pour une quantité $x > 1{,}5$ mesurée en tonnes :

Il souhaite déterminer pour quelles quantités $x > 1{,}5$ le coût $f(x)$ est strictement inférieur au coût $g(x)$, c'est-à-dire résoudre l'inéquation $f(x) < g(x)$.

Voici la résolution proposée par un élève :

Étape 1 : Factorisation de $f(x)$ au moyen d'une identité remarquable :
$$f(x) = (2x - 3)^2 - 5^2 = (2x - 3 - 5)(2x - 3 + 5) = (2x - 8)(2x + 2) = 4(x - 4)(x + 1)$$

Étape 2 : Étude de la différence $D(x) = f(x) - g(x)$ par factorisation avec le facteur commun $(x + 1)$ :
$$D(x) = 4(x - 4)(x + 1) - (x + 1)(2x + 1) = (x + 1)[4(x - 4) - (2x + 1)] = (x + 1)(2x - 17)$$

Étape 3 : Analyse du signe des facteurs sur le domaine de travail $x > 1{,}5$ :
Si $x > 1{,}5$, alors $x + 1 > 2{,}5 > 0$. Le facteur $(x + 1)$ est donc strictement positif pour tout $x > 1{,}5$.

Étape 4 : Déduction de l'ensemble des solutions :
Comme $(x + 1) > 0$, l'inéquation $D(x) < 0$ équivaut à $2x - 17 < 0$, soit $x < 8{,}5$. Sur le domaine $x > 1{,}5$, l'ensemble des solutions est l'intervalle $]1{,}5 ; 8{,}5[$.

Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).