Exercice : Inégalités et comparaison d'expressions

Étape 1

Pour comparer les deux expressions $A(x)$ et $B(x)$, on étudie la différence $A(x) - B(x)$.

Étape 2

On développe d'abord l'expression $A(x)$ à l'aide de la première identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :$$A(x) = (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$$

Étape 3

On calcule ensuite la différence $A(x) - B(x)$ en distribuant le signe moins sur tous les termes de $B(x)$ :$$A(x) - B(x) = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 + 8x + 9)$$$$A(x) - B(x) = x^2 + 8x + 16 - x^2 - 8x - 9 = 7$$

Étape 4

La différence est constante et égale à $7$. Comme $7 > 0$, on en déduit que $A(x) > B(x)$ pour tout nombre réel $x$.