Exercice : Inégalités et comparaison d'expressions

Étape 1

On exprime d'abord l'aire de la pièce A, notée $\mathcal{A}_{\text{A}}(x)$, en soustrayant l'aire du trou intérieur à l'aire du grand carré : $$\mathcal{A}_{\text{A}}(x) = (x + 4)^2 - (x - 1)^2$$ En développant à l'aide des identités remarquables, on obtient : $$\mathcal{A}_{\text{A}}(x) = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 2x + 1) = 10x + 15$$

Étape 2

On exprime ensuite l'aire de la pièce B, notée $\mathcal{A}_{\text{B}}(x)$ : $$\mathcal{A}_{\text{B}}(x) = 3(x + k) = 3x + 3k$$

Étape 3

On traduit la condition sur les aires par l'inéquation $\mathcal{A}_{\text{A}}(x) \ge \mathcal{A}_{\text{B}}(x)$ : $$10x + 15 \ge 3x + 3k$$ Ce qui équivaut en isolant $x$ à : $$7x \ge 3k - 15$$ Comme $7 > 0$, le sens de l'inégalité ne change pas : $$x \ge \frac{3k - 15}{7}$$

Étape 4

L'énoncé précise que l'aire de la pièce A est supérieure ou égale à celle de la pièce B si et seulement si $x \ge 6$. On en déduit l'égalité entre les deux valeurs seuils : $$\frac{3k - 15}{7} = 6$$ Ce qui équivaut successivement à : $$3k - 15 = 42$$ $$3k = 57$$ $$k = 19$$