Exercice : Inégalités et comparaison d'expressions

Étape 1

On pose $a = 4x$ et $b = 9y$. Puisque $x$ et $y$ sont deux réels strictement positifs, $a$ et $b$ sont également deux réels strictement positifs. On peut donc appliquer la propriété rappelée à $a$ et $b$.

Étape 2

En remplaçant $a$ par $4x$ et $b$ par $9y$ dans l'inégalité $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$, on obtient : $$\sqrt{4x \times 9y} \le \frac{4x + 9y}{2}$$ Comme $4x + 9y = 48$, l'inégalité s'écrit : $$\sqrt{36xy} \le \frac{48}{2}$$ Ce qui simplifie en $6\sqrt{xy} \le 24$, d'où $\sqrt{xy} \le 4$. En élevant au carré deux nombres positifs, on en déduit que $xy \le 16$.

Étape 3

Pour établir que 16 est le maximum effectif, il faut vérifier qu'il existe au moins un couple de réels strictement positifs $(x, y)$ atteignant cette borne. D'après le cas d'égalité de la propriété, l'égalité a lieu si et seulement si $a = b$, c'est-à-dire $4x = 9y$. En substituant dans l'égalité $4x + 9y = 48$, on obtient $4x + 4x = 48$, d'où $8x = 48$, ce qui donne $x = 6$. On en déduit $9y = 24$, d'où $y = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$. Les valeurs $x = 6$ et $y = \frac{8}{3}$ sont bien strictement positives et vérifient $x \times y = 6 \times \frac{8}{3} = 16$.

Étape 4

La valeur maximale du produit $x \times y$ est donc 16.