Étape 1
Pour déterminer les valeurs de $x$ vérifiant $f(x) \le 0$, le développement de l'expression donnerait $f(x) = 8x^2 - 20x - 12$, une forme dont l'étude de signe n'est pas directe. Il est donc indispensable de factoriser $f(x)$.
Étape 2
On reconnaît l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = 3x - 2$ et $b = x + 4$ :
Étape 3
$$f(x) = ((3x - 2) - (x + 4))((3x - 2) + (x + 4))$$
Étape 4
$$f(x) = (3x - 2 - x - 4)(3x - 2 + x + 4)$$
Étape 5
$$f(x) = (2x - 6)(4x + 2)$$
Étape 6
Étudions le signe de chaque facteur :
Étape 7
Le facteur $2x - 6$ s'annule pour $x = 3$ et est strictement positif pour $x > 3$.
Étape 8
Le facteur $4x + 2$ s'annule pour $x = -0{,}5$ et est strictement positif pour $x > -0{,}5$.
Étape 9
Dressons le tableau de signes du produit $(2x - 6)(4x + 2)$ :
Étape 10
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -0{,}5 & & 3 & & +\infty \\ \hline 2x - 6 & & - & | & - & 0 & + & \\ 4x + 2 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}$$
Étape 11
L'expression $f(x)$ est négative ou nulle lorsque $x$ appartient à l'intervalle $[-0{,}5 ; 3]$.
Étape 12
La plus petite valeur réelle $x$ satisfaisant l'inégalité $f(x) \le 0$ est donc $-0{,}5$.
Méthode clé
Pour étudier le signe d'une expression du second degré au niveau Seconde, il faut privilégier la forme factorisée afin d'utiliser un tableau de signes.
Piège à éviter
Développer l'expression conduit à une forme polynomiale du second degré dont l'étude de signe nécessite des outils de Première.
