Exercice : Inégalités et comparaison d'expressions

Étape 1

La chaîne $B$ est strictement plus performante que la chaîne $A$ si et seulement si $B(n) > A(n)$, ce qui équivaut à étudier la condition $B(n) - A(n) > 0$.

Étape 2

Pour tout entier $n \ge 1$, calculons la différence $B(n) - A(n)$ : $$B(n) - A(n) = \dfrac{n + 1}{n + 6} - \dfrac{n + 6}{n + 13}$$ En réduisant au même dénominateur $(n + 6)(n + 13)$, on obtient : $$B(n) - A(n) = \dfrac{(n + 1)(n + 13) - (n + 6)^2}{(n + 6)(n + 13)}$$

Étape 3

Développons le numérateur : $$(n + 1)(n + 13) = n^2 + 13n + n + 13 = n^2 + 14n + 13$$ En utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : $$(n + 6)^2 = n^2 + 12n + 36$$ On en déduit : $$(n + 1)(n + 13) - (n + 6)^2 = (n^2 + 14n + 13) - (n^2 + 12n + 36) = 2n - 23$$

Étape 4

Ainsi, pour tout entier $n \ge 1$ : $$B(n) - A(n) = \dfrac{2n - 23}{(n + 6)(n + 13)}$$

Étape 5

Comme $n \ge 1$, les termes $n + 6$ et $n + 13$ sont strictement positifs. Le dénominateur $(n + 6)(n + 13)$ est donc strictement positif.

Étape 6

Par conséquent, le signe de la différence $B(n) - A(n)$ est le même que celui de son numérateur $2n - 23$.

Étape 7

On résout l'inéquation $2n - 23 > 0$ : ce qui équivaut à $2n > 23$, c'est-à-dire $n > \dfrac{23}{2}$. Or $\dfrac{23}{2} = 11{,}5$.

Étape 8

L'inégalité $B(n) > A(n)$ est donc vérifiée dès que $n > 11{,}5$. Comme $n$ représente un nombre entier de jours, la valeur minimale cherchée est $n = 12$.