Étape 1
Pour déterminer la plus grande valeur possible de l'expression $E = -6x + 4y - 3$, nous allons encadrer successivement chaque terme de l'expression.
Étape 2
Étape 1 : Encadrement du terme $-6x$
On sait que $-1{,}5 \le x \le 3{,}5$.
En multipliant chaque membre par $-6$ (qui est un nombre réel strictement négatif), on change le sens des inégalités :$$ -6 \times 3{,}5 \le -6x \le -6 \times (-1{,}5) $$ce qui donne :$$ -21 \le -6x \le 9 $$
Étape 3
Étape 2 : Encadrement du terme $4y$
On sait que $-4 \le y \le 2{,}5$.
En multipliant chaque membre par $4$ (qui est un nombre réel strictement positif), le sens des inégalités est conservé :$$ 4 \times (-4) \le 4y \le 4 \times 2{,}5 $$ce qui donne :$$ -16 \le 4y \le 10 $$
Étape 4
Étape 3 : Somme des inégalités et conclusion
En additionnant membre à membre les deux encadrements de même sens obtenus aux étapes précédentes, on trouve :$$ -21 + (-16) \le -6x + 4y \le 9 + 10 $$ce qui équivaut à :$$ -37 \le -6x + 4y \le 19 $$
Étape 5
Enfin, en retranchant $3$ à chaque membre de l'inégalité, il vient :$$ -37 - 3 \le -6x + 4y - 3 \le 19 - 3 $$soit :$$ -40 \le E \le 16 $$La plus grande valeur possible que peut prendre l'expression $E$ est donc $16$.
Méthode clé
Pour encadrer une combinaison linéaire de variables, on encadre d'abord chaque terme séparément (en inversant le sens pour les coefficients négatifs), puis on additionne membre à membre les inégalités de même sens.
Piège à éviter
Oublier d'inverser le sens d'une inégalité lors de la multiplication par un nombre strictement négatif.
