Carrés parfaits et racines carrées
L'essentiel du cours (3 notions)
Carrés parfaits de 1 à 144
Définition : Un carré parfait est le carré d'un nombre entier naturel.
Propriété : Carrés des entiers de 1 à 12 : $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, $8^2 = 64$, $9^2 = 81$, $10^2 = 100$, $11^2 = 121$, $12^2 = 144$.
Exemple : $11^2 = 11 \times 11 = 121$.
Définition de la racine carrée
Définition : Pour tout nombre positif $a$, la racine carrée $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$.
Propriété : Pour tout nombre positif $a$ : $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$.
Exemple : $\sqrt{81} = 9$ car $9 \ge 0$ et $9^2 = 81$.
Encadrer une racine carrée
Méthode : 1. Encadrer le nombre entre deux carrés parfaits consécutifs. 2. Appliquer la racine carrée à chaque membre.
Exemple : Pour $\sqrt{50}$ : $49 < 50 < 64$, d'où $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$, soit $7 < \sqrt{50} < 8$.
Saisir la valeur de $\sqrt{144}$.
On cherche à encadrer $\sqrt{52}$ entre deux entiers consécutifs $a$ et $b$ tels que :
$$a < \sqrt{52} < b$$
Saisir la valeur de l'entier $a$.
On considère un carré $ABCD$ dont l'aire est égale à $64\text{ cm}^2$.
Calculer le périmètre de ce carré.
Saisir la valeur du périmètre en cm.
On considère l'expression suivante :
$$A = \sqrt{121} - \sqrt{36} + \sqrt{25}$$
- Remplacer chaque racine carrée par sa valeur entière.
- Calculer la valeur numérique de l'expression $A$.
Saisir la valeur de $A$.
À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur approchée de $\sqrt{68}$ arrondie au centième près.
Saisir la valeur approchée de $\sqrt{68}$.
On considère un nombre positif noté $a$ tel que :
$$\sqrt{a} = 14$$
En utilisant la définition de la racine carrée, déterminer la valeur de $a$.
Saisir la valeur de $a$.
On s'intéresse au plus petit nombre entier positif $n$ vérifiant l'encadrement suivant :
$$6 < \sqrt{n} < 7$$
En utilisant les carrés de 6 et de 7, déterminer la valeur de cet entier.
Saisir la valeur de l'entier $n$.
Un carré a une aire de $71\text{ cm}^2$.
À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur approchée au centième près de la longueur du côté de ce carré, en centimètres.
Saisir la longueur du côté arrondie au centième près.
Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
On donne les informations suivantes :
- $AB = 6\text{ cm}$
- L'aire du triangle $ABC$ est égale à $24\text{ cm}^2$.
Saisir la longueur du côté $[BC]$ en cm.
On considère les deux expressions suivantes pour tout nombre positif $x$ :
$$\text{Expression 1 : } \sqrt{x} + 3$$$$\text{Expression 2 : } \sqrt{x + 9}$$Un élève prétend que ces deux expressions donnent toujours un résultat égal quel que soit le nombre $x$.
Afin de prouver que cette affirmation est fausse, on recherche un contre-exemple. On souhaite trouver le plus petit entier strictement positif $x$ pour lequel ces deux expressions prennent toutes les deux une valeur entière.
Saisir la valeur de cet entier $x$.
Un terrain de forme carrée $ABCD$ a une longueur de côté égale à $\sqrt{4x + 15}\text{ m}$, où $x$ désigne un nombre positif.
La longueur du côté de ce terrain est exactement égale à $9\text{ m}$.
Saisir la valeur de $x$.
Sur la figure ci-contre :
- le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ ;
- le triangle $BCD$ est rectangle en $B$ ;
- $AB = 10\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$ et $CD = 6{,}5\text{ cm}$.
Calculer la longueur $BD$.
Saisir la longueur $BD$ en centimètres.
Une terrasse a la forme du polygone représenté ci-dessous, dont tous les angles sont droits.
Un paysagiste souhaite aménager un massif de fleurs de forme carrée ayant exactement la même superficie que cette terrasse.
Déterminer la longueur du côté de ce massif carré, en mètre, arrondie au centième près.
Saisir la longueur du côté du massif, arrondie au centième.
Dans une plaque métallique carrée, un ouvrier découpe deux ouvertures rectangulaires identiques mesurant chacune $4\text{ cm}$ de large sur $5\text{ cm}$ de long.
Après cette opération, l'aire de la partie restante de la plaque est égale à $104\text{ cm}^2$.
Quelle était la longueur du côté de la plaque carrée avant les découpes ?
Saisir la longueur du côté en centimètres sous la forme d'un nombre entier.
La figure ci-contre représente un terrain $ABCD$ ayant la forme d'un trapèze rectangle.
Une commune souhaite aménager un nouvel espace vert de forme carrée qui aura exactement la même aire que ce terrain $ABCD$.
Calculer la longueur du côté de cet espace vert carré.
Saisir la longueur du côté, arrondie au dixième, sans unité :
On considère la figure ci-dessous représentant un triangle $ABC$ rectangle en $A$.
On donne $AB = 6\text{ cm}$ et $BC = 11\text{ cm}$.
Déterminer la valeur de l'entier $n$ tel que $n < AC < n+1$.
On considère la figure ci-contre (qui n'est pas à l'échelle) :
- $ABC$ est un triangle rectangle en $B$.
- $ACDE$ est un carré d'aire $169\text{ cm}^2$ construit sur l'hypoténuse $[AC]$.
- Le point $M$ est le milieu du segment $[BC]$ et $BM = 6\text{ cm}$.
Saisir la longueur du segment $[AB]$ en cm.
On considère la figure ci-contre composée d'un triangle $ABC$ rectangle en $B$, ainsi que de deux carrés $C_1$ et $C_2$ construits sur deux de ses côtés.
Le carré $C_1$ a une aire de $289\text{ cm}^2$. La longueur du côté $[BC]$ est égale à $8\text{ cm}$.
Le carré $C_3$ est obtenu en effectuant une réduction du carré $C_2$ selon un rapport égal à $0{,}4$.
Saisir le périmètre du carré $C_3$ en cm.