Exercice : Carrés parfaits et racines carrées

Étape 1

Pour invalider l'affirmation, il faut trouver une valeur de $x$ pour laquelle les deux expressions fournissent des résultats différents.

Étape 2

Pour que les deux expressions $\sqrt{x} + 3$ et $\sqrt{x + 9}$ prennent des valeurs entières, il faut que $x$ et $x + 9$ soient simultanément des carrés parfaits.

Étape 3

Testons les premiers carrés parfaits strictement positifs pour $x$ :

Étape 4

Pour $x = 1$ : $1$ est un carré parfait car $1^2 = 1$, mais $x + 9 = 10$ n'est pas un carré parfait (car $3^2 = 9$ et $4^2 = 16$).

Étape 5

Pour $x = 4$ : $4$ est un carré parfait car $2^2 = 4$, mais $x + 9 = 13$ n'est pas un carré parfait.

Étape 6

Pour $x = 9$ : $9$ est un carré parfait car $3^2 = 9$, mais $x + 9 = 18$ n'est pas un carré parfait.

Étape 7

Pour $x = 16$ : $16$ est un carré parfait car $4^2 = 16$. De plus, $x + 9 = 16 + 9 = 25$, qui est aussi un carré parfait car $5^2 = 25$.

Étape 8

Calculons la valeur de chaque expression pour $x = 16$ :

Étape 9

$$\text{Expression 1 : } \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$$

Étape 10

$$\text{Expression 2 : } \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Étape 11

Comme $7 \neq 5$, la valeur $x = 16$ constitue bien un contre-exemple valide.

Étape 12

Le plus petit entier strictement positif cherché est $16$.