Exercice : Carrés parfaits et racines carrées

Étape 1

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

Étape 2

On isole le terme recherché : $$AC^2 = BC^2 - AB^2$$ En remplaçant par les valeurs données : $$AC^2 = 11^2 - 6^2 = 121 - 36 = 85$$

Étape 3

La longueur $AC$ est un nombre positif vérifiant $AC^2 = 85$, donc par définition $AC = \sqrt{85}\text{ cm}$.

Étape 4

On encadre le nombre $85$ entre deux carrés parfaits consécutifs : $$9^2 = 81 \quad \text{et} \quad 10^2 = 100$$ Comme $81 < 85 < 100$, on en déduit : $$9 < \sqrt{85} < 10$$ soit $$9 < AC < 10$$

Étape 5

L'entier recherché $n$ vérifiant $n < AC < n+1$ est donc $9$.