Étape 1
D'abord, calculons la longueur de l'hypoténuse $[AC]$. Le quadrilatère $ACDE$ est un carré dont l'aire vaut $169\text{ cm}^2$. Par définition, la longueur du côté d'un carré est égale à la racine carrée de son aire :
Étape 2
$$AC = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$$
Étape 3
Ensuite, calculons la longueur du côté $[BC]$. Comme le point $M$ est le milieu du segment $[BC]$, la longueur du segment $[BC]$ est égale au double de celle du segment $[BM]$ :
Étape 4
$$BC = 2 \times BM = 2 \times 6 = 12\text{ cm}$$
Étape 5
Enfin, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. D'après le théorème de Pythagore, les longueurs des côtés vérifient la relation :
Étape 6
$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$
Étape 7
En remplaçant $AC$ et $BC$ par leurs valeurs numériques :
Étape 8
$$13^2 = AB^2 + 12^2$$
Étape 9
$$169 = AB^2 + 144$$
Étape 10
On en déduit la valeur de $AB^2$ :
Étape 11
$$AB^2 = 169 - 144 = 25$$
Étape 12
Puisque $AB$ représente une longueur, c'est un nombre positif. On extrait sa racine carrée :
Étape 13
$$AB = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$$
Méthode clé
Pour trouver un côté manquant dans un triangle rectangle, on utilise la racine carrée pour convertir l'aire d'un carré en longueur de côté, puis on applique l'égalité de Pythagore.
Piège à éviter
Confondre l'aire du carré avec la longueur de son côté, ou oublier de multiplier par 2 la longueur du demi-segment $BM$ pour obtenir $BC$.
